El teorema de Mazur asegura que hay exactamente 15 casos posibles para la parte de torsión del grupo Mordell-Weil de una curva elíptica: los grupos cíclicos $\mathbb{Z}_n$ (con $1\leq n\leq 10$ o $n=12$ ) y los grupos $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_n$ para $n=2,4,6,8$ .
En su documento Universal Bounds on The Torsion of Elliptic Curves, Proc. London. Math. Soc.(1976) 33, 193-237 Daniel Sion Kubert (que fue alumno de Mazur) presenta en la tabla 3 (página 217) una lista de parametrizaciones para los diferentes casos posibles.
En particular, las curvas con un $\mathbb{Z}_2$ torsión están parametrizados por la siguiente familia: $$ \mathbb{Z}_2\ \text{torsion}:\quad y^2=x(x^2+a x+ b), \quad b^2(a^2-4b)\neq 0. $$
El ejemplo dado en la respuesta de Francesco es un caso especial con $a=0$ . Como otro ejemplo, el caso con torsión $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ está parametrizada por la familia de Legendre:
$$ \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 \ \text{torsion}:\quad y^2=x(x+r)(x+s), \quad r\neq 0 \neq s \neq r. $$
Una ligera generalización de la familia de Hesse parametriza las curvas con torsión $\mathbb{Z}_3$ :
$$ \mathbb{Z}_3 \ \text{torsion}:\quad y^2+a_1 x y +a_3 y =x^3, \quad a_3^3( a_1^3-27 a_3)\neq 0. $$ Para los otros grupos se puede utilizar la forma normal de Tate $$ E(b,c): \quad y^2+(1-c)x y - b y =x^3- b x^2 $$ y la condición para una torsión dada se expresa como una condición algebraica sobre $b$ y $c$ .
Por ejemplo, para $\mathbb{Z}_4$ tenemos $c=0$ y $b^4(1+16b)\neq 0$ , lo que da: $$ \mathbb{Z}_4 \ \text{torsion}:\quad E(b,c=0): \quad y^2+x y - b y =x^3- b x^2, \quad b^4(1+16b)\neq 0. $$
Para una revisión, puede leer el capítulo 4 del libro de Husemoller . También hay una breve reseña amigable en la sección 2 de este documento de la teoría de las cuerdas de Aspinwall y Morrison ( no presentan todos los 15 casos, pero para los que analizan, expresan todo en forma de Weierstrass).
