Valor esperado del máximo de dos variables aleatorias de distribución uniforme

Question

Si tengo dos variables $X$ y $Y$ que aleatoriamente toman valores uniformemente del rango $[a,b]$ (todos los valores son igualmente probables), ¿cuál es el valor esperado para $\max(X,Y)$ ?

Answer 1

Aquí tienes algunas herramientas útiles:

1. Para toda variable aleatoria no negativa $Z$ , $$\mathrm E(Z)=\int_0^{+\infty}\mathrm P(Z\geqslant z)\,\mathrm dz=\int_0^{+\infty}(1-\mathrm P(Z\leqslant z))\,\mathrm dz.$$
2. Tan pronto como $X$ y $Y$ son independientes, $$\mathrm P(\max(X,Y)\leqslant z)=\mathrm P(X\leqslant z)\,\mathrm P(Y\leqslant z).$$
3. Si $U$ es uniforme en $(0,1)$ entonces $a+(b-a)U$ es uniforme en $(a,b)$ .

Si $(a,b)=(0,1)$ los puntos 1. y 2. juntos dan $$\mathrm E(\max(X,Y))=\int_0^1(1-z^2)\,\mathrm dz=\frac23.$$ Entonces el punto 3. da el caso general, es decir, $$\mathrm E(\max(X,Y))=a+\frac23(b-a)=\frac13(2b+a).$$

Answer 2

Me gustó mucho el planteamiento de Martin, pero hay un error en su integración. La clave está en la línea tres. La intuición aquí debería ser que cuando y es el máximo, entonces x puede variar de 0 a y mientras que y puede ser cualquier cosa y viceversa para cuando x es el máximo. Así que el orden de integración debe ser invertido:

Answer 3

La excelente respuesta de Did demuestra el resultado. La imagen

puede ayudar a tu intuición. Esta es la configuración "media" de dos puntos aleatorios en un intervalo y, como ves, el valor máximo está a dos tercios del punto extremo izquierdo.

Answer 4

Dado que x e y son variables aleatorias independientes, podemos representarlas en el plano x-y delimitado por x=0, y=0, x=1 e y=1. También podemos decir que la elección de cualquier punto dentro de la región delimitada es igualmente probable. Por lo tanto, si fuéramos a elegir un área pequeña alrededor de un conjunto de valor (x,y)- probabilidad de que, es decir, ***P(X=x,Y=y)= dx.dy/(A)*** . Donde A es el área total donde (x,y) podría pertenecer, Por lo tanto A=1*1= 1. Obsérvese también que $$\iint_{A} P(X=x,Y=y)=\iint_{A}\frac{(dx)(dy)}{1}= 1$$ Por lo tanto, P(X=x,Y=y) es efectivamente una función de densidad de probabilidad. Consulte la Imagen de variables aleatorias en el plano xy .

Ahora, sea Z= max(x,y). Obsérvese que cuando (x,y) está por debajo de la recta y=x (es decir, x>y); Z=x Cuando (x,y) está por encima de la recta y=x (es decir, y>x), Z=y. Por lo tanto, si calculamos el valor esperado en toda la región, sería; $$\iint_{A} Z \times P(X=x,Y=y)=\int_{0}^1\int_{0}^x x\frac{dydx}{1}+\int_{0}^1\int_{x}^1 y\frac{dydx}{1}=\int_{0}^1 x^2dx+\int_{0}^1 \frac{1}{2}\times(1-x^2)dx= \frac{2}{3} $$

Answer 5

Considero que el enfoque descrito en https://www.probabilitycourse.com/chapter4/4_1_3_functions_continuous_var.php fácil de seguir y aplicable a este problema. Es un proceso de 3 pasos

1. Obtener el rango de la distribución requerida, en este caso, max(X, Y)
2. Hallar la FCD de esta distribución en función de la conocida conocidas
3. Encuentre la PDF de la distribución diferenciando la FCD

Digamos que nuestra nueva distribución se denota por Z, toma valores en el rango [0,1]

$P(Z <= z) = P(Max(X, Y) <= z)$

\= $P((X,Y) <= z)$

\= $P(X <= z,Y <= z)$

\= $P(X <= z) . P(Y <= z)$

\= $(z-a) \over (b-a) $ . $(z-a) \over (b-a) $

Se puede utilizar para obtener la CDF para [0,1] distribución uniforme, PDF es diferencial de la CDF y E[Z] será directa integral sobre [0,1].

PS: Hay otro enfoque descrito en el libro para problemas estáticos de orden genérico, pero la prueba es relativamente complicada en comparación con este enfoque.