Tengo que demostrar que $Y$ es un camino conectado si y sólo si: si X es un espacio topológico cualquiera y $f,g: X\to Y$ son nulo-homotópicos, entonces $f,g$ son homotópicos.
Entiendo que si Y está conectado a la ruta, entonces $f,g$ son homotópicos, pero cómo puedo mostrar la otra dirección.
¿No podríamos añadir un solo punto a $Y$ para que no esté conectado a la ruta?
Para la otra dirección tome $X=\{pt\}$ para dos puntos $x,y \in Y$ definir los mapas $f_1(pt)=x$ y $f_2(pt)=y$ . De esto se concluye que $Y$ es un camino conectado. Para cualquier otro espacio $X$ simplemente tomar mapas constantes.
Si añadimos otro punto $pt'$ a $Y$ entonces tendremos otro mapa $f'(pt)=pt'$ y este mapa no será homotópico a ningún otro mapa
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