Demostración de la identidad de una función hipergeométrica

Question

Mientras jugaba con el cálculo fraccionario, me quedé atascado intentando demostrar que dos formas diferentes de diferenciar el coseno dan el mismo resultado. DLMF y el sitio de Wolfram Functions no parecen tener esta "identidad" o algo que obviamente pueda transformarse en lo que tengo, así que pregunto aquí.

La "identidad" en cuestión es

$(\alpha-1)\left({}_1 F_2 \left(1;\frac{1-\alpha}{2},\frac{2-\alpha}{2};-\frac{x^2}{4}\right)-{}_1 F_2 \left(-\frac{\alpha}{2};\frac12,\frac{2-\alpha}{2};-\frac{x^2}{4}\right)\cos(x)\right)\stackrel{?}{=}\alpha x \sin(x)\,{{}_1 F_2 \left(\frac{1-\alpha}{2};\frac32,\frac{3-\alpha}{2};-\frac{x^2}{4}\right)}$

Expandiendo el LHS menos el RHS en una serie de Taylor se observa que los coeficientes hasta la potencia 50 son 0; probando valores complejos aleatorios de $\alpha$ y $x$ parece verificar la identidad. Sin embargo, me gustaría ver una forma de confirmar la identidad de forma analítica. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Puede utilizar el gran HolonomicFunctions de Christoph Koutschan para demostrar esta identidad en Mathematica. Demuestra automáticamente por usted que ambos lados de su identidad satisfacen la ecuación diferencial de sexto orden \begin{eqnarray} 0=&&x^2 \left(2 a^2-11 a+18 x^2+14\right) D_x^6 -2 x \left(2 a^3-19 a^2+18 a x^2+58 a-54 x^2-56\right) D_x^5 \\\\ &&+\left(2 a^4-25 a^3+28 a^2 x^2+115 a^2-133 a x^2-230 a+90 x^4+154 x^2+168\right) D_x^4 \\\\ &&-4 x \left(4 a^3-37 a^2+36 a x^2+115 a-99 x^2-114\right) D_x^3 \\\\ &&+4 \left(2 a^4-23 a^3+20 a^2 x^2+96 a^2-71 a x^2-172 a+18 x^4+71 x^2+112\right) D_x^2 \\\\ &&+8 x \left(4 a^2-34 a+36 x^2+43\right) D_x +8 \left(2 a^2-17 a+18 x^2+35\right). \end{eqnarray} Junto con tu comprobación de que los seis primeros coeficientes de Taylor (con respecto a x) coinciden, esto demuestra tu identidad.

Answer 2

Como ya señaló Robin, basta con observar que ambos lados satisfacen una ecuación diferencial lineal, ya que las funciones hipergeométricas, seno y coseno lo hacen, y las series de potencias que satisfacen ecuaciones diferenciales lineales son cerradas bajo adición y multiplicación.

Sólo tienes que encontrar límites para el orden y el grado de los coeficientes, y comprobar el número adecuado de coeficientes de Taylor. gfun para maple y generatingFunctions para mathematica lo hacen por ti...