Cuándo puede el orden de límite e integral del ser cambiados?

Question

1. Me preguntaba por un valor real de la función con dos variables reales, si hay algunos teoremas/conclusiones que se pueden utilizar para decidir la intercambiabilidad de la orden de tomando límite respecto de una variable, y teniendo integral (integral de Riemann, o de manera más general integral de Lebesgue ) wrt otra variable, como $$\lim_{y\rightarrow a} \int_A f(x,y) dx = \int_A \lim_{y\rightarrow a} f(x,y) dx ?$$
2. Si $y$ enfoques $a$ como una contables de la secuencia de $\{y_n, n\in \mathbb{N}\}$, is the order exchangeable when $f(x,y_n), n \in \mathbb{N}$ es uniformemente convergente en algún subconjunto de x y y?

3. ¿Cómo saber si el límite y la integral puede ser intercambiado en los siguientes ejemplos? Si no, ¿cómo podría usted calcular los valores de las integrales:

   • $$\lim_{y\rightarrow 3} \int_1^2 x^y dx$$
   • $$ \lim_{y\rightarrow \infty} \int_1^2 \frac{e^{-xy}}{x} dx$$

Gracias y saludos!

Answer 1

Los resultados más útiles son los Lebesgue dominado la convergencia y la convergencia monótona teoremas.

Answer 2

@Tim: Usted escribió en un comentario: "Para los dos teoremas que usted ha mencionado, se aplican a un discreto secuencia de funciones. En mis preguntas, el índice es continua. Cómo tendría que ser superado?"

Si $\lim_{y\to a} f(x,y)$ existe, $\lim_{n\to\infty} f(x,y_n)$ existe, para cada secuencia $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ que los enfoques $y$, y a la inversa. Se puede utilizar para mostrar que el teorema de convergencia dominada y la monotonía teorema de convergencia aún trabajan en el "continuo".