Demostrar que el proceso estocástico resuelve cierta EDE

Question

1) Quiero conocer el mecanismo para: demostrar que el proceso $X_t$ resuelve este SDE 2) saber si mis amigos aunque, los míos aunque abajo son correctos/incorrectos.

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Tengo la ecuación diferencial lineal general estocástica (SDE) con condición inicial $X_0$ constantes: $c,\sigma$ Necesito demostrar que el proceso $X_t$ resuelve esta SDE.

SDE: $$dX_t = c X_t dt + \sigma dW_t , t \in [0,T]$$ Stoch. Proceso: $$X_t = X_0 e^{ct}+\sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s.$$

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Por simple lógica, creo que tengo que insertar $X_t$ a SDE( tomar diferencial de $X_t$ y recibir exactamente el SDE que tengo arriba). ¿Es esta la forma matemáticamente correcta de mostrar que alguna solución resuelve SDE(o DE simple)?

Mi amigo encontró en la web una solución completamente incómoda para mí:

1) Tomar el diferencial por ? fórmula del producto ?: $$d(e^{-ct}X_t) = -c e^{-ct} X_t + e^{-ct} dX_t$$ 2) Sustituir nuestra SDE $dX_t = c X_t dt + \sigma dW_t , t \in [0,T]$ a la segunda parte de la ecuación.

Por fin se integra, y se consigue lo que se quiere: $$X_t = ...$$

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Mi pregunta: Creo que no es una prueba correcta, es más, cómo puedo entender qué debo diferenciar ( me refiero a $d(e^{-ct}X_t)$ no es evidente). ¿Lo es? Creo que de alguna manera disminuyó la prueba.

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Creo que esa es la verdadera prueba:

1) mediante la fórmula de ITO: $$df(t,W_t) = \dot f_t dt + \dot f_{W_t} dW_t + \frac{1}{2}\ddot f_{W_t,W_t} dt,$$ Consigue $$d X_t = ..$$ 2) ver que parece $dX_t = c X_t dt + \sigma dW_t , t \in [0,T]$ .

He aquí hasta dónde he llegado y qué obstáculos tengo:

Si asumo que puedo poner $\frac{d}{dt}$ dentro de la integral y diferenciar fácilmente el exponente $e^{-cs}$ me sale:

$$dX_t = \frac{\partial }{\partial t} \left(X_0 e^{ct}+\sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s \right) dt + \frac{\partial }{\partial W_t} \left(X_0 e^{ct}+\sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s \right) dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial W_t} \frac{\partial }{\partial W_t} \left(X_0 e^{ct}+\sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s \right) dt, $$ o $$dX_t = A dt + B dW_t + \frac{1}{2}C dt,$$ donde:

$$ A= X_0 c e^{ct} + \left ( \frac{\partial }{\partial t} \sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s \right) =$$

$$= X_0 c e^{ct} + \left ( \sigma ce^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s + \sigma e^{ct} \int_0^t -c e^{-cs}dW_s \right).$$

¿Es correcto? Siguiente,

$$B = 0 + \text{this is not easy for me to digest} = $$ $$ = 0 + \sigma e^{ct} e^{-ct} = \sigma$$

$$C = 0 + 0 \text{, because there is no } W_t$$ finalmente: $$dX_t = \left ( X_0 c e^{ct} + \sigma ce^{ct} \int_0^t e^{-cs}dW_s + \sigma e^{ct} \int_0^t -c e^{-cs}dW_s \right) dt + \sigma dW_t + \frac{1}{2}0$$ $$dX_t = X_0 c e^{ct} dt+ \sigma dW_t $$ Pero aquí vemos $X_0e^{ct}$ no $X_t$ . =(

Answer 1

1. La solución de tus amigos es correcta. Si $(X_t)_{t \geq 0}$ es un proceso unidimensional de Itô, entonces la fórmula de Itô dice $$ df(t,X_t)= \partial_x f(t,X_t) \, dX_t + \left(\frac{1}{2} \partial_x^2 f(t,X_t) \right) d\langle X \rangle_t + \partial_t f(t,X_t) \, dt. \tag{1}$$ Su amigo utilizó esta identidad para $f(t,x) := x e^{-ct}$ .

2. Su intento:

$\frac{\partial}{\partial W_t} \left( X_0 e^{ct} + \sigma e^{ct} \int_0^t e^{-cs} \, dW_s \right)$

¿Es así como te enseñan a escribir la fórmula de Itô? En mi opinión, no es una buena manera de escribirla así. El problema es que no se puede aplicar la fórmula de Itô de esta manera. La fórmula de Itô te da el diferencial para $f(t,W_t)$ para funciones (agradables) $f$ . Pero aquí se quiere calcular la diferencial de la expresión

$$\int_0^t e^{-cs} \, dW_s,$$

es decir, necesitamos una función $f$ tal que

$$f(t,W_t) \stackrel{!??!}{=} \int_0^t e^{-cs} \, dW_s.$$

... dígame: ¿Cómo se elige $f$ ? Antes de que usted no haya elegido tal función $f$ no se puede aplicar la fórmula de Itô de esta manera. Lo que estás haciendo es tratarla como una constante y eso simplemente no es correcto.

Para resolver esta SDE (o comprobar que el proceso dado es una solución de la SDE) hay que utilizar realmente la fórmula de Itô para los procesos de Itô, es decir $(1)$ .

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Nota: La solución que sugiere tu amigo aplica la fórmula de Itô al proceso

$$e^{-ct} X_t \tag{1}$$

y, a primera vista, no es obvio cómo llegar a este proceso en particular. La idea es la siguiente: En lugar de considerar la SDE

$$dX_t = c X_t \, dt + \sigma \, dW_t$$

consideramos la correspondiente EDO

$$dx_t = cx_t \, dt$$

(es decir, dejamos de lado la parte estocástica). Es bien sabido que la solución única de esta ecuación diferencial ordinaria viene dada por

$$x_t = C e^{ct}$$

donde $C \in \mathbb{R}$ . Hasta ahora, $C$ es una constante "determinista". Ahora, sin embargo, volvemos a nuestro escenario estocástico y permitimos $C$ depender de $\omega$ (esta es la contrapartida del enfoque de la variación de las constantes para las EDE). Así, por la identidad anterior, nuestro nuevo proceso auxiliar $C$ viene dada por

$$C_t = e^{-ct} X_t$$

... y este es exactamente el proceso de $(1)$ .

Hay muchos ejemplos en los que este enfoque [es decir, resolver primero la correspondiente EDO y luego hacer una variación "estocástica" de las constantes] funciona, por ejemplo esta pregunta . Sin embargo, no conozco ninguna afirmación para qué tipos de SDEs funciona este enfoque y para cuáles no.