Me he dado cuenta de algo interesante en este tabla. Las columnas se pueden expresar mediante polinomios de grado k. Tomo la primera $k+1$ números de cada columna y utilicé la interpolación de Lagrange. Sorprendentemente, he conseguido que esta extrapolación dé los valores exactos de todos los demás números de la columna. No puedo comprobar esto para $k=7$ . $$k=0: 1$$ $$k=1: n-1$$ $$k=2: n^2-3n+2$$ $$k=3: n^3-5n^2+8n-5$$ $$k=4: n^4-\frac{15}2n^3+\frac{29}2n^2+3n-17$$ $$k=5: n^5-\frac{65}6n^4+\frac{173}6n^3+\frac{148}3n^2-\frac{862}3n+265$$ $$k=6: n^6-\frac{883}{60}n^5+\frac{157}3n^4+\frac{2155}{12}n^3-\frac{4570}3n^2+\frac{42767}{15}n-967$$ $$k=7: \frac{1679}{1680}n^7-\frac{2765}{144}n^6+\frac{21541}{240}n^5+\frac{69163}{144}n^4-\frac{717821}{120}n^3+\frac{1462277}{72}n^2-\frac{10388033}{420}n+5037$$
Si pongo el $n$ a uno en el que se produce el primer valor positivo, lo es: $$k=0: 1$$ $$k=1: n$$ $$k=2: n^2+n$$ $$k=3: n^3+n^2-1$$ $$k=4: n^4+\frac92n^3+n^2-\frac92n+1$$ $$k=5: n^5+\frac{55}6n^4+\frac{31}2n^3-\frac{14}3n^2-2n+1$$ $$k=6: n^6+\frac{917}{60}n^5+\frac{713}{12}n^4+\frac{565}{12}n^3-\frac{5}{12}n^2+\frac{409}{30}n-3$$ $$k=7: \frac{1679}{1680}n^7+\frac{142}{9}n^6+\frac{192}{5}n^5-\frac{3743}{36}n^4-\frac{18917}{240}n^3+\frac{14119}{36}n^2-\frac{50761}{140}n+100$$
Preguntas:
¿Se puede demostrar que las columnas de esa tabla son siempre polinomios?
¿Se pueden predecir los coeficientes de alguna manera? Parece que hay un orden pero no lo encuentro.
