Después de leer un poco sobre la intercambiabilidad, volví a pensar en la condición de iid requerida para el teorema del límite central. Se me ocurrió que si dos variables aleatorias se extraen de una distribución idéntica, la ocurrencia de un evento no hace más o menos probable la ocurrencia de otro evento. No tengo ninguna duda de que estoy equivocado y que hay una razón por la que se requiere tanto la independencia como una distribución idéntica. Pero no sé por qué.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si las variables aleatorias se extraen de una distribución idéntica, ¿por qué esto no garantiza que sean independientes?
Como no se especifica cómo las variables aleatorias se extraen, la pregunta no tiene sentido. Es la manera de dibujo que es importante. Consideremos un ejemplo neoclásico de una urna con una bola marcada $0$ y una bola marcada $1$ . La variable aleatoria $X$ es el número de la bola extraída de la urna, y es una variable aleatoria Bernoulli con parámetro $p = P\{X = 1\} = \frac{1}{2}$ . Ahora dejemos que $X_1$ denotan el número de la primera bola extraída y $X_2$ el número de la segunda bola extraída.
- Caso I: dibujo con sustitución Hay 4 resultados igualmente probables del experimento y se pueden escribir como $00, 01, 10, 11$ . $X_1$ y $X_2$ son ambos Bernoulli $\left(\frac{1}{2}\right)$ variables aleatorias y son independientes.
- Caso II: sorteo sin sustitución Ahora sólo hay dos resultados igualmente probables $01, 10$ pero $X_1$ y $X_2$ claramente son Bernoulli $\left(\frac{1}{2}\right)$ variables aleatorias igual que antes, y es evidente que no son independientes.
Por lo tanto, el simple hecho de obtener variables aleatorias con idéntica distribución no no garantiza en absoluto que sean independientes.
