Me preguntaba si $e^{\sqrt{z}}$ es una función entera. Sabemos que la composición de dos funciones enteras es entera. Pero $\sqrt{z}$ es una función multivaluada que es analítica en la rama principal. Así que si tomamos la rama principal de $\sqrt{z}$ es $e^{\sqrt{z}}$ analítica? Si es así, ¿cuál es el orden de crecimiento de la misma? El orden de crecimiento de una función entera $f$ se define como $\sigma=\displaystyle{\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log\log M(r,f)}{\log r}}$ , donde $M(r,f)=\displaystyle{\sup_{|z|=r}|f(z)|}$ .
Respuesta
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Dejemos que $f(z)=e^{g(z)}$ donde $g(z)^2=z.$ Entonces $f(0)=1,$ por lo que para $z\ne 0$ tenemos $$\frac {f(z)-f(0)}{z-0}=\frac {e^{g(z)}-1}{g(z)^2}=$$ $$=\frac {g(z)/1!+g(z)^2/2!+g(z)^3/3+...}{g(z)^2}=A+B$$ donde $A=\frac {1}{g(z)}$
y $B=1/2!+g(z)/3!+...$
Ahora $g(z)\to 0$ como $z\to 0.$ Así que $B\to 1/2$ como $z\to 0.$ Pero $A$ no converge como $z\to 0.$ Así que $f'(0)$ no existe.
