Recuerda que el lema de Nakayama establece que
Sea $R$ un anillo conmutativo con unidad, y sea $J$ el radical de Jacobson de $R$ (la intersección de todos los ideales maximales de $R$). Para cualquier módulo $R$-generado finitamente $M$, si $IM=M$ para algún ideal $I\subseteq J$, entonces $M=0$.
Estaba tratando de encontrar un ejemplo simple / ilustrativo de la situación anterior donde $M$ no es cero y no es generado finitamente, pero $IM=M$ para algún $I\subseteq J.
El único ejemplo con el que logré venir fue $$R=k[[\overline{x}_0,\overline{x}_1,\overline{x}_2,\ldots]]=k[[x_0,x_1,x_2,\ldots]]/(x_0^2,x_1^2-x_0,x_2^2-x_1,\ldots)$$ donde $k$ es un campo, y $I=M=(\overline{x}_0,\overline{x}_1,\overline{x}_2,\ldots)\neq0$. Dado que $k[[x_0,x_1,x_2,\ldots]]$ es un anillo local con ideal máximo $(x_0,x_1,x_2,\ldots)$, tenemos que $R$ es un anillo local con ideal máximo $I$, de modo que $I$ es el radical de Jacobson de $R$, y $$IM=I^2=(\overline{x}_0^2,\overline{x}_1^2,\overline{x}_2^2,\ldots,\overline{x}_0\overline{x}_1,,\ldots,\overline{x}_1\overline{x}_2,\ldots)=(0,\overline{x}_0,\overline{x}_1,\ldots,\overline{x}_0\overline{x}_1,\ldots,\overline{x}_1\overline{x}_2,\ldots)\supseteq I$$ así que $IM=I^2=I=M$.
¿Existe un ejemplo más fácil, tal vez con $R$ noetheriano? Además, ¿cuál es la imagen geométrica aquí? Según entiendo, al tener a $M$ como no generado finitamente corresponde a mirar haces no coherentes, de los cuales no tengo mucha intuición - incluso menos que mi entendimiento novato de haces coherentes.
