Problema paramétrico: lanzar un dardo <Revisión de la prueba>

Question

Sí, soy yo... ¡Parametría, quién lo iba a decir xD! En fin, otra vez... Estoy haciendo repaso y realmente necesito esta nota para sacar un sobresaliente en la clase de matemáticas; por eso estoy preguntando aquí. Y vosotros sois maravillosos por responder a las preguntas de repaso del examen. Tengo un examen mañana, así que me estoy preparando. De todos modos, volviendo al tema: esta es la antepenúltima pregunta de repaso del examen, y dice:

Se lanza un dardo desde un punto a 1,5 m del suelo con una velocidad inicial de 1,5 m/s y un ángulo de elvación de $41 ^\circ$ . Supongamos que la única fuerza que actúa sobre el dardo es la gravedad. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el dardo? ¿Cuándo y cómo llegará el dardo al suelo? MOSTRAR TODOS LOS TRABAJOS .

Usted sabe por mi pregunta anterior que no entiendo lo que la pregunta quiere decir. Hasta ahora, hice 20 preguntas de 24 solo, y necesito ayuda en esto. ¡Por favor, ayúdame de nuevo, Matemáticas Sitio StackExchange!

Recuerda que estamos en la Unidad Paramétrica.

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Ecuaciones (En mis notas no estoy seguro de si hay más.)

Ejemplos

Answer 1

Para una clase de precálculo probablemente tendrás un conjunto de ecuaciones paramétricas de la siguiente forma, aunque tu profesor podría utilizar variables diferentes.

Dada la posición inicial $(x(0),y(0))$ , velocidad inicial $\vert v \vert$ y la dirección inicial del movimiento $\theta$ y la aceleración $g$ debido a la gravedad, entonces

\begin{equation} x(t)=x(0)+\vert v\vert t\cos\theta \end{equation}

\begin{equation} y(t)=y(0)+\vert v\vert t\sin\theta-\frac{g}{2}t^2 \end{equation}

Para este ejercicio $x(0)=0,\,y(0)=5$ ft, $\vert v\vert=58$ ft/seg, $\theta=41^\circ$ y $g=32\text{ft/sec}^2$ .

Sustituya los valores en la fórmula de $y(t)$ y obtendrá una ecuación polinómica de segundo grado para $t$ (de la forma $y=at^2+bt+c)$ . Su gráfica será una parábola cóncava hacia abajo y $y$ alcanzará su mayor valor en el vértice que se produce cuando $t=-\frac{b}{2a}$ . Encuentre ese valor de $t$ y sustituir en la ecuación de $y$ para saber a qué altura llega el dardo.

El dardo llegará al suelo cuando $y(t)=0$ y $t>0$ . Por lo tanto, establezca la ecuación para $y(t)=0$ y resolver para $t$ para saber cuándo caerá el dardo al suelo. Sólo tienes que utilizar $x(t)$ si te preguntan hasta dónde llega el dardo.