Fotón en geodésica nula

Question

Si se da una métrica FRW

$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)[dx^2+dy^2+dz^2]$

y para la trayectoria seguida por un fotón (geodésica nula; $ds^2=0$ ) con parámetro afín $\lambda$ , saber que

$g_{\mu\nu}\,\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\,\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} = 0.$

¿Cómo se puede encontrar

$\frac{dt}{d\lambda} = \frac{w0}{a(t)}$ ?

Ya se han encontrado los coeficientes de Christoffel no nulos y las ecuaciones geodésicas restantes,

$ 0 = \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} + \Gamma^i_{ti}\,\frac{dt}{d\lambda}\,\frac{dx^i}{d\lambda} $ y $ 0 = \frac{d^2t}{d\lambda^2} + \Gamma^t_{ii}\,\frac{dx^i}{d\lambda}\,\frac{dx^i}{d\lambda} $

con $ \Gamma^i_{ti} = \frac{1}{a(t)}\,\frac{da(t)}{dt} $ y $ \Gamma^t_{ii} = a(t)\,\frac{da(t)}{dt} $

Espero que sea bastante sencillo (aún no lo veo) y que la geodésica nula en el $x$ -dirección vienen de algo así como (?):

$ ds^2 = -(dt^2)+a^2(t)\,dx^2 = 0 \rightarrow \frac{dt}{a(t)} = \pm dx $

También creo que $dx/d\lambda = c$ si el parámetro afín está relacionado con $\lambda = t$ .

Aquí es donde estoy confundido y lo necesito para pasar a mirar el corrimiento al rojo cosmológico y derivar la relación de energías emitidas y observadas de un fotón a $t1$ y $t2$ .

¡Cualquier cosa que me aclare sería genial!

Answer 1

Usaré puntos para la derivada con respecto al parámetro afín. La métrica FRW tiene vectores de Killing $\partial_x, \partial_y, \partial_z$ cada uno de los cuales conduce a una ecuación de conservación: \begin{align} c_x &= \dot x\cdot\partial_x = a^2\dot x \\ c_y &= \dot y\cdot\partial_y = a^2\dot y \\ c_z &= \dot z\cdot\partial_z = a^2\dot z \end{align} lo que implica $$ a^4(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) = w_0^2, \qquad w_0^2 \equiv c_x^2 +c_y^2 +c_z^2 $$ La ecuación geodésica nula puede, como señalas básicamente, escribirse $$ \dot t^2 = a^2 (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) $$ multiplicando ambos lados por $a^2$ y utilizando la condición de conservación derivada anteriormente se obtiene $$ a^2\dot t^2 = w_0^2 $$ que es esencialmente lo que estabas buscando.

Consejos no solicitados (que por cierto me ha ayudado enormemente en la investigación)

Al resolver las geodésicas, aprende a amar las cantidades conservadas, y por lo tanto Killing ¡¡¡vectores!!!