Extensión del automorfismo de campo al automorfismo de cierre algebraico

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y que $f(x)\in k[x]$ sea irreducible. Sea $K$ sea el cierre algebraico de $k$ y decir entre las raíces de $f(x)$ son $\alpha,\beta\in K$ . Entonces existe un automorfismo de $K$ enviando $\alpha$ a $\beta$ .

Estoy estudiando la teoría básica del campo/Galois (o intentándolo), y este hecho parece utilizarse a menudo, y parece que debería ser obvio, pero no consigo entenderlo.

Lo más cercano que puedo conseguir es que si $k\subset F$ es el campo de división de $f$ entonces sé que hay un automorfismo de $F$ enviando $\alpha$ a $\beta$ pero no sé cómo o si esto se puede extender a un automorfismo de $K$ . He encontrado una pregunta relacionada aquí pero la respuesta supone lo que quiero saber.

Answer 1

La demostración debería estar disponible en cualquier libro de texto de álgebra abstracta, el que tengo a mano ahora mismo es el de Fraleigh (donde es el Teorema 48.3).

Como ya conoces el lema de Zorn, lo aplicamos al conjunto $S$ de pares $(L,\lambda)$ , donde $L$ es un campo intermedio entre $k(\alpha)$ y $K$ (inclusive) y $\lambda$ es un morfismo inyectivo de $L$ en $K$ ( es decir , un isomorfismo de $L$ a un subcampo de $K$ ) que extiende el isomorfismo dado $\sigma$ de $k(\alpha)$ a $k(\beta)$ . Este conjunto no está vacío porque contiene $(k(\alpha),\sigma)$ .

Definimos una ordenación de la siguiente manera: $(L,\lambda) \le (L',\lambda')$ si y sólo si $L$ es un subcampo de $L'$ y la restricción de $\lambda'$ a $L$ es igual a $\lambda$ . Demostramos que cada cadena tiene un límite superior, por lo que $S$ tiene un elemento máximo, que puede demostrarse que es el par $(K,\kappa)$ , donde $\kappa$ es un isomorfismo de $K$ a un subcampo de $K$ que amplía $\sigma$ . $\kappa$ es suryectiva (si no, podríamos extender de forma no trivial $\kappa^{-1}$ de $\kappa(K)$ a $K$ pero eso no es posible porque $\kappa^{-1}$ ya está en $K$ que es algebraicamente cerrado), por lo que es un automorfismo de $K$ .