Media parábola. $y = x^2$ - ¿existe la derivada en x = 0?

Question

Si tomamos $y = x^2$ y la reducimos a la mitad dejando que $x\ge 0$ ¿la derivada sigue existiendo en $x = 0$ o es $\text{DNE}$ ?

Creo que todavía $0$ porque la función y su derivada siguen siendo continuas. Sin embargo, mis amigos me han dicho que es $\text{DNE}$ por la sencilla razón de que los límites izquierdo y derecho en $x = 0$ no existen. No entiendo esta lógica.

Es $y = x^2, x \ge 0$ diferenciable en $x = 0$ ?

Answer 1

Cuando se corta la parábola, se corta la mitad de la tangente en $x = 0, y = 0$ por lo que lo que queda es la mitad de la tangente. hay definición de derivada unilateral en los límites del dominio. por ejemplo, en el límite izquierdo $x = a,$ la derivada unilateral de $f$ se define por $$D_+f|_{x = a} = \lim_{x \to a+} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}.$$

De la misma manera, se puede definir $D_-f|_{x = b}$ en el punto final correcto $b.$