Prueba de: "las formas holomorfas son cerradas en las variedades compactas de Kähler"

Question

Estoy buscando un elemental prueba (si la hay) de lo siguiente

Declaración: Las formas holomorfas son cerradas en las variedades compactas de Kähler.

Cualquier referencia clásica sería bienvenida, así como los nombres de los matemáticos a los que debería atribuirse este resultado.

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ sea una holomorfa $p$ -forma, es decir $\alpha$ es un $(p, 0)$ -que satisface $\bar{\partial}\alpha = 0$ . Tenga en cuenta que $\bar{\partial}^*\alpha = 0$ Así que $\alpha$ es $\bar{\partial}$ -armónico, es decir $\Delta_{\bar{\partial}}\alpha = 0$ . Si el colector es compacto y de Kähler, entonces $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial}$ así que $\Delta_{\partial}\alpha = 0$ y por lo tanto $\partial\alpha = 0$ . Por lo tanto, $d\alpha = \partial\alpha + \bar{\partial}\alpha = 0$ Así que $\alpha$ está cerrado.

Answer 2

En cualquier variedad de Kahler, se tiene que las formas holomorfas son armónicas debido a la identidad $\Delta = 2\Delta_{\overline{\partial}}$ . Además, en el compacto caso una forma armónica $\omega $ también está cerrado porque $$ 0 = \langle\Delta\omega,\omega\rangle = || d \omega||^2 + ||d^*\omega||^2 $$ (esto no es cierto en el caso no compacto ya que $d^*$ es sólo el formal adjunto) se deduce que las formas holomorfas son cerradas.