$R$ es un anillo conmutativo con $1$ . Supongamos que todo ideal maximal está finitamente generado. ¿Es este anillo noetheriano? De forma equivalente, ¿es cada ideal primo generado finitamente?
Respuesta
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No.
Un contraejemplo es el anillo ${\cal O}(D)$ de las funciones holomorfas definidas en un dominio $D\subset\Bbb C$ . Los ideales máximos son los ideales $\{(z-a){\cal O}(D)\}$ para $a\in D$ (que son principales), pero hay ideales que no están generados finitamente.
Por ejemplo, el ideal $I=\{\sin(nz)\}_{n\in\Bbb N}$ en ${\cal O}(\Bbb C)$ es propio (está contenido en $z{\cal O}(\Bbb C)$ ), pero no está generada finitamente: mira el conjunto cero de los elementos en $I$ .
