Demuestra que ∼∼P ⊢P (Sider)

Question

2.4(c)

1. P premisa .
2. P (P P) PL1 .
3. PP 1,2,MP .
4. (P P)((P P)P) PL3 .
5. (PP)P 3,4,MP .
6. Premisa del PP 2.4(b) .
7. P 5,6,MP .

Esta es la respuesta, lo que no entiendo es la línea 6 cuando dice que ~P->~P es una premisa según 2.4(b).

Esta es la respuesta a 2.4(b)

Tenemos que demostrar que (P P)P

1. P ((P P)P) etc. PL2
2. P ((P P)P) PL1
3. (P (P P))(P P) 1,2,MP
4. P(PP) PL1
5. PP 3,4 MP
6. (P P)(P P)P PL3
7. (PP)P 5,6,MP

Por lo tanto, veo que en la línea 5 que es el mismo que en la línea 6. Lo que no entiendo es cómo eres capaz de citar una prueba completamente diferente. Si no tuviera 2.4(b), ¿cómo podría continuar la prueba de la línea 5 en 2.4(c)?

Los axiomas se definen como:

1. P->(Q->P) PL1
2. (P->(Q->X))->(P->Q)->(P->X)) PL2
3. (~Q->~P)->((~Q->P)->Q) PL3

Answer 1

En primer lugar, la línea 5) de 2.4c no es más que MP aplicada a las líneas 3) y 4), como se indica. Es decir, MP se define como:

$\varphi \to \psi$

$\varphi$

$\therefore \psi$

En este caso parcial, la línea 3) es la $\varphi$ . Es decir, utilizar $\varphi= \neg P \to \neg \neg P$

La línea 5) es la $\psi$ . Es decir: $\psi= (\neg P \to \neg P) \to P$

Y la línea 4) es la $\varphi \to \psi$ es decir $(\neg P \to \neg \neg P) \to ((\neg P \to \neg P) \to P)$

En segundo lugar, si no tuvieras la prueba de 2.4b, entonces después de la línea 5) simplemente repetirías las mismas 7 líneas de la prueba de 2.4b, por lo que éstas se convertirían en las líneas 6 a 12, donde la línea 12 sería $(\neg P \to P) \to P$

Y entonces lo que ahora es la línea 7 se convierte en la línea 13