¿Demuestra que la ortogonalidad en el espacio euclidiano es geométricamente perpendicularidad?

Question

¿Es esto simplemente cierto por definición (es decir, tomado como un axioma)?

¿Cómo se puede demostrar que para $||\vec{x}||=1$ y $||\vec{y}||=1$ Si $(\vec{x},\vec{y})=0$ entonces $\vec{x}\perp\vec{y}$ ?

En otras palabras, ¿qué propiedad del espacio euclidiano es la causa de este hecho?

En otras palabras $^{2}$ Si mi pregunta se puede demostrar realmente, ¿qué es lo más lejos que podemos llegar (en términos de demostración) hasta que se tome como definición la relación entre el ángulo y la longitud en el espacio euclidiano?

Answer 1

$(x,y) = \|x\|\|y\| \cos \theta$ si $x$ y $y$ son vectores en $\mathbb{R}^n$ . En el sitio web $\theta$ es el ángulo menor entre $x$ y $y$ en el plano/espacio generado por $x$ y $y$ .

Ahora es cero medios : $\theta$ es $\frac{\pi}{2}$ cuando se permite el ángulo de $(0,\pi)$ .