Planteado en la Olimpiada Regional de Matemáticas 2005

Question

Sean a, b, c tres números reales positivos tales que $a+b+c = 1$ .

Dejemos que $\Delta= \min( a^{3} + a^{2}bc, b^{3}+ab^{2}c, c^{3}+abc^{2} )$ .

Demuestra que las raíces de la ecuación $x^{2} + x + 4 \Delta = 0$ son reales. La última línea equivale a $\Delta \leq \frac{1}{16} $ . Así que traté de demostrar por contradicción. Asumí que todos ellos son $ > \frac{1}{16} $ y trató de establecer una contradicción con el hecho $a+ b+ c=1$ pero no lo lograron

Answer 1

En primer lugar, vemos que las raíces del polinimio son reales si

$$1-16\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \Delta \le \frac{1}{16}$$

Supongamos, sin pérdida de genero, que $a \le b \le c$ . Entonces:

$$\Delta = a^3 + a^2bc = a^2(a+bc)$$

$bc$ es mayor cuando $b=c=\frac{1-a}{2}$ Así que..:

$$\Delta\le a^2\left(a+\left(\frac{1-a}{2}\right)^2\right)=\frac{a^4+2a^3+a^2}{4}$$

Obsérvese que esta expresión crece monótonamente con $a$ pero $a\le \frac13$ , por lo que su máximo está en $a=\frac13$ . Pero entonces:

$$\Delta\le\frac{\frac{1}{81}+\frac{2}{27}+\frac{1}{9}}{4}=\frac{4}{81} < \frac{1}{16}$$