Quiero encontrar un ejemplo de campos $\mathbb{Q} \lt E \lt K$ tal que la extensión $K:\mathbb{Q}$ es radical pero la extensión $E:\mathbb{Q}$ no es radical y proporcionar una justificación.
Respuesta
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Veamos. Prueba a unir una raíz séptima (primitiva) de $1$ Llámalo $\zeta$ y llamar a este campo $K$ . Ahora mira la extensión cúbica $E=\Bbb Q(\zeta+\zeta^{-1})\supset\Bbb Q$ . (El polinomio mínimo para este número es $X^3+X^2-2X-1$ .) Desde $K$ es abeliano sobre $\Bbb Q$ Así es $E$ . Y $E$ es normal sobre $\Bbb Q$ También.
Ahora bien, si $E'$ es cualquier extensión cúbica de $\Bbb Q$ que es radical, debe ser de forma $E'=\Bbb Q(\sqrt[3]n\,)$ pero estas extensiones cúbicas de $\Bbb Q$ no son normales, ya que necesitarás las raíces cúbicas de la unidad para obtener todas las raíces cúbicas de $n$ . Así que nuestro $E$ anterior no es radical.
EDITAR : Has pedido otra explicación, que no dependa de la Teoría de Galois. Debo decir que supongo que lo que querías decir con "extensión radical" era un campo de la forma $\Bbb Q(\sqrt[m]n\,)$ para un número entero $m$ y un número racional $n$ donde, por comodidad, suponemos que $n$ no contiene $m$ -a potencias en su expansión como producto de potencias primarias.
Hay dos casos: primero, el caso ciclotómico donde $n=\pm1$ y estás al lado de la $m$ -raíces de la unidad si $n=1$ y el $2m$ -raíces de la unidad si $n=-1$ . El segundo caso abarca todos los demás valores de $n$ . En el primer caso, el grado $[\Bbb Q(\zeta_n):\Bbb Q]$ es igual a $\phi(n)$ la función phi de Euler, que es par para todos los valores de $n$ excepto $1$ y $2$ . Esto demuestra que la extensión cúbica anterior no es $\Bbb Q(\zeta_k)$ para cualquier (primitiva) $k$ -raíz de la unidad $\zeta_k$ .
¿Cómo puedo demostrar que no es $\Bbb Q(\sqrt[m]n\,)$ para cualquier $n\ne\pm1$ ? Esas extensiones radicales, si no son cuadráticas reales (por tanto con grado $2$ ) tienen todos incrustaciones en $\Bbb C$ que no están en $\Bbb R$ ya que el polinomio mínimo del generador tiene raíces no reales. En el lenguaje técnico, esos campos no son "totalmente reales". Pero la extensión cúbica que construí para ti es totalmente real, porque las raíces de $X^3+X^2-2X-1$ son todos reales.
