Derivada covariante de $(0,0)$ -Cálculo del tensor

Question

Estoy tratando de demostrar un caso especial de la proposición 4.21 en "Introducción a los Múltiples Riemannianos" de John Lee. Aquí está la configuración: $\nabla$ es una conexión en $TM$ , $f\in C^\infty(M)$ (es decir, un $(0,0)$ -) y $X,Y$ son campos vectoriales suaves. Intento demostrar que $\nabla^2_{X,Y} f=\nabla_X(\nabla_Y f)-\nabla_{\nabla_X Y} f$ . Aquí, para cualquier $(k,l)$ -tensor $F$ definimos $\nabla^2_{X,Y} F=\nabla^2 F(\dots, Y,X)$ .

Esto es lo que he hecho:

\begin{align*} \nabla^2_{X,Y} f&=\nabla(\nabla (f) (Y,X))\\&=\nabla(X(f(Y))-f(\nabla_X Y))\\& =\nabla(X(f(Y)))-\nabla(f(\nabla_X Y))\\& =\nabla_Y(Xf)-\nabla_{\nabla_X Y}f\\&=\nabla_Y(\nabla_X f)-\nabla_{\nabla_X Y}f. \end{align*} Pero está claro que esto no es lo que quiero... El $X$ y $Y$ parecen haber cambiado de lugar en el primer término y no sé en qué me equivoqué. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$(\nabla^2 f) (X,Y)=\nabla (\nabla f)(X,Y)=\nabla_X (\nabla f) (Y)$ .

Dejemos que $T:=\nabla f$ para mayor claridad.

Ahora, continuamos el cálculo (utilizando $\nabla f(X)=X(f)$ ):

$\nabla_X T (Y)=X(T(Y))-T(\nabla_X Y)=X(Y(f))-\nabla_X Y(f)$

Por último, obtenemos lo que desea mediante $\nabla_X f=\nabla f(X)=X(f)$ .

El problema es que usted "trabajó" desde dentro en lugar de hacerlo desde fuera.