Automorfismos de una superficie cuádrica lisa $Q\subset\mathbb{P}^{3}$

Question

Dejemos que $Q\cong\mathbb{P^{1}_{1}}\times\mathbb{P^{1}_{2}}\subset\mathbb{P}^{3}$ sea una superficie cuádrica lisa. Tenemos las siguientes dos acciones sobre $Q$ : $$S_2\times Q\rightarrow Q,\; (\sigma,(x,y))\mapsto\sigma(x,y)$$ donde $S_2$ es el grupo simétrico de orden $2$ y $$Aut(\mathbb{P^{1}_{1}})\times Aut(\mathbb{P^{1}_{2}})\times Q\rightarrow Q,\;((f,g),(x,y))\mapsto (f(x),g(y)).$$ Estas dos acciones no son conmutables. Además $h^{0}(Q,T_{Q}) = 6$ Es decir $dim(Aut(Q)) = 6$ .

¿Es cierto que $Aut(Q)$ es el producto semidirecto $$Aut(Q)\cong(Aut(\mathbb{P^{1}_{1}})\times Aut(\mathbb{P^{1}_{2}}))\rtimes S_2 ?$$

Answer 1

Sí, es cierto. Esto se ve fácilmente mirando, por ejemplo, el grupo Picard, generado por $C$ y $D$ las dos fibras de las proyecciones. Dado que $C^2=D^2=0$ y $C\cdot D=1$ , las únicas curvas de auto intersección $0$ son múltiples de $C$ o $D$ y los irreducibles equivalen a $C$ o $D$ . Componiendo un automorfismo por el intercambio de coordenadas se fija entonces $C$ y $D$ y, por tanto, actúan sobre cada factor a través de un automorfismo. Esto da el resultado.

Answer 2

Esta es otra forma de ver esto. El grupo de automorfismo de cualquier hipersuperficie cuádrica $$Q(x) = 0 \subset \mathbb{P}^n,$$ es exactamente el grupo ortogonal proyectivo $\textrm{PO}(Q)$ de $Q$ .

El punto clave ahora es que tenemos la coincidencia de que $\textrm{SL}(2) \times \textrm{SL}(2)$ es una cubierta doble de $\textrm{SO}(4)$ . Al tomar los cocientes proyectivos adecuados y seguir cuidadosamente el $2$ -torsión, se llega al isomorfismo $$\textrm{PO}(4) \cong \textrm{PGL}(2) \times \textrm{PGL}(2) \rtimes S_2,$$ y el resultado se demuestra al notar que $\textrm{Aut}(\mathbb{P}^1) \cong \textrm{PGL}(2).$

Answer 3

Puedes ver la pregunta de esta otra manera. Tomemos un automorfismo $\phi:Q\rightarrow Q$ y componerlo con una de las dos proyecciones $\pi_i\circ \phi$ . Entonces $$\pi_i\circ\phi:Q\rightarrow\mathbb{P}^1$$ es un fibrado con fibras conectadas. Por lo tanto, $\pi_i\circ\phi$ necesariamente se factoriza a través de $\pi_{j_{i}}$ con $j_i\in\{1,2\}$ . Asociar a $\phi$ la permutación $\{i\mapsto j_i\}$ obtenemos un morfismo surjactivo de grupos $$f:Aut(Q)\rightarrow S_2.$$ Por otro lado, si $\pi_i\circ\phi$ factorizado a través de $\pi_i$ esto significa que $\phi$ proviene de un automorfismo en $Aut(\mathbb{P}^1)\times Aut(\mathbb{P}^1)$ . Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta $$0\mapsto Aut(\mathbb{P}^1)\times Aut(\mathbb{P}^1)\rightarrow Aut(Q)\rightarrow S_2\mapsto 0.$$ Ahora bien, basta con observar que $f$ admite una sección para concluir que $Aut(Q)\cong (Aut(\mathbb{P}^1)\times Aut(\mathbb{P}^1))\rtimes S_2$ .