Número de veces que tengo que tirar un dado para obtener dos $6$ s

Question

Lanzamos un dado hasta obtener dos $6$ s. ¿Cuál es el número más probable de veces que tenemos que lanzar los dados?

Mi intento:

He intentado simular esto en python, que siempre da una respuesta de aproximadamente 12. Esta respuesta tiene sentido para mí. Sin embargo, también traté de encontrar $$ \frac{\mathbb{P}(X = n+1)}{\mathbb{P}(X=n)} \leq 1,$$ con $$\mathbb{P}(X=n) = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2} \cdot \frac{1}{6} \cdot\left(n-1\right) \cdot \frac{1}{6} ,$$

donde el $\left(n-1\right) \cdot \frac{1}{6}$ es la probabilidad del primer 6, y sus posibles ubicaciones, $\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}$ siendo el otro no 6-s, y el último $\frac{1}{6}$ siendo los últimos 6 donde dejamos de tirar. Esto me da $n \geq 6$ como respuesta, lo cual estoy seguro que es erróneo intuitivamente. Traté de resolver esto porque creo que esto debe ser un caso de distribución normal (aunque no puedo decir formalmente por qué) y por lo tanto debe $\exists x : \forall y \in \mathbb{R^+}, y \neq x : \mathbb{P}(X=y) \leq \mathbb{P}(X=x)$ ¿Puede alguien indicarme mi error aquí?

Answer 1

El número de tiradas necesarias para obtener dos seises hace no sigue una distribución normal; sigue una distribución binomial negativa, que en este caso es la suma de dos distribuciones geométricas con tasa de éxito $\frac16$ (siendo un éxito una tirada de seis).

El cálculo de la primera $n$ donde $\frac{P(X=n+1)}{P(X=n)}\le1$ tampoco da la media. Da la moda.

Answer 2

Su expresión para la probabilidad de que $X=n$ es correcta, y utilizarla para calcular el valor esperado de $X$ por fuerza bruta a partir de la definición da la respuesta correcta:

$$\begin{align*} \sum_{n\ge 2}\frac{n(n-1)5^{n-2}}{6^n}&=\frac1{6^2}\sum_{n\ge 2}n(n-1)\left(\frac56\right)^{n-2}\\ &=\frac1{6^2}\cdot\frac2{\left(1-\frac56\right)^3}\\ &=12\,. \end{align*}$$

Para evaluar esa suma he partido del hecho de que $$\sum_{n\ge 0}x^n=\frac1{1-x}$$ y diferenciado dos veces para encontrar que

$$\sum_{n\ge 2}n(n-1)x^{n-2}=\frac2{(1-x)^3}\,.$$

Answer 3

Puede que estés confundiendo el concepto de "valor esperado" y "moda" de una variable aleatoria.

Si la pregunta es realmente "Cuál es el número más probable", entonces $6$ y $7$ son las respuestas correctas, por extraño que parezca. Puede utilizar su fórula en Phyton para comprobarlo.

Si la pregunta es "¿Cuál es el número esperado?", entonces $12$ es la respuesta correcta.

Al menos puedes hacer que esto sea plausible observando el siguiente gráfico.

La función $f(n)=\frac{n-1}{36}\left(\frac56\right)^{n-2}$ (extendido a argumentos reales) tiene su valor máximo entre $6$ y $7$ por lo que el máximo en argumentos enteros es $6$ o $7$ y resulta que ambos valores son iguales (su fórmula $\frac{\mathbb{P}(X = n+1)}{\mathbb{P}(X=n)} = \frac56\frac{n}{n-1}$ da como resultado exactamente $1$ para $n=6$ ).

El valor esperado, sin embargo, es una integral sobre todo el eje argumental. Y aunque la curva anterior muestra una función continua sobre el eje argumental real y la variable aleatoria considerada es discreta, por lo que su valor esperado es una suma finita de valor por probabilidad para coordenadas enteras, para una comprobación de plausibilidad basta con considerar la curva continua como una aproximación.

La curva aumenta rápidamente, pero cae lentamente. No es simétrica, por lo que el punto de mayor valor no será el valor esperado, sino que estará a la derecha del mismo, en algún lugar de la "larga cola".

Por lo tanto, aunque esto no demuestra que $12$ es efectivamente el valor esperado, hace que sea plausible que el máximo de probabilidad ("modo") y el valor esperado no sean el mismo o estén necesariamente cerca el uno del otro.