Ejercicio de teoría de la medida

Question

Dejemos que $X\neq \emptyset$ y $f:X \rightarrow [0, \infty]$ no idéntica al infinito. Establece $$\sum_{x \in X} f(x)= \sup \left\{ \sum_{x \in F}f(x), F \subseteq X, F \mbox{ finite} \right\}.$$ $(i)$ Demostrar que $\mu(E)= \sum_{x \in E} f(x)$ es una medida sobre $(X, P(X))$ ;

$(ii)$ Si $f(x) < \infty \> \forall x \in X$ y el conjunto $\lbrace{ x \in X: f(x)>0 \rbrace}$ es a lo sumo contable demostrar que $\mu$ es $\sigma$ -finito.

Mi solución es utilizar este argumento:

$(i)$ Dejemos que $E=\cup_n E_n$ con $E_n$ son disjuntos entre sí; si $x$ no pertenece a $E$ entonces $x$ no pertenece a ninguno de los $E_n$ y esto significa $$\mu(E)=0= \sum_{x \in \cup_n E_n} f(x)$$ Consideremos ahora que el conjunto $E$ contiene un solo elemento $\overline{x}$ . Si $\overline{x} \in E$ entonces existe un único $\overline{n}$ tal que $\overline{x} \in E_{\overline{n}}$ . Cálculo de la medida de $E$ conduce a: $$\mu(E)=f(\overline{x})=\mu(\cup_n E_n)=\mu(E_{\overline{n}})+ \sum_{n\neq \overline{n}} f(x)=\mu(E_{\overline{n}})+\sum_{n\neq \overline{n}} \mu(E_n)$$ que debería mantenerse porque $\sum_{n\neq \overline{n}} \mu(E_n)=0$

$(ii)$ Siendo que $A=\lbrace{ x \in X : f(x)>0 \rbrace}$ es a lo sumo contable podemos escribir $$A=\cup_n \lbrace{x_n\rbrace}$$ y $\mu(\lbrace{x_n\rbrace})=f(x_n) <\infty$ de la hipótesis.

¿Es aceptable mi solución? No he utilizado la definición dada con el $\sup$ .

Answer 1

Aquí está $(i)$ : Está claro que $\mu(E)\ge 0$ . $\mu(\varnothing)=\sup \lbrace{ \sum_{x \in F}f(x), F \subseteq \varnothing, F \text{finite} \rbrace}$ entonces $F$ es necesariamente vacía, por lo que $\sum_{x \in F}f(x)=0$ .

Ahora dejemos que $(E_n)_{n\in \Bbb N}$ sean conjuntos disjuntos queremos demostrar $\mu(\bigcup_{n\in \Bbb N}E_n)=\sum_{n\in \Bbb N}\mu(E_n)$ . Podemos suponer $\mu(E_n)\neq \infty$ ya que si no es así tenemos la igualdad. Si $F \subset \bigcup_nE_n$ entonces por la disyuntiva de la $E_n$ $F$ puede escribirse como $F=F_1\cup F_2 \ldots F_n$ donde $F_i$ es un subconjunto finito de $E_i$ y son disjuntos. Ahora $$\sup \lbrace{ \sum_{x \in F}f(x), F \subseteq \cup E_n, F \text{finite} \rbrace}=\sup \lbrace{ \sum_{x \in F}f(x), F \subseteq \cup E_n, F \text{finite} \rbrace}\ge \sup \lbrace{ \sum_{i=1}^n\sum_{x \in F_i}f(x), F \subseteq E_1 \cup \dots \cup E_n, F \text{finite} \rbrace}=\sum_{i=1}^n\sup \lbrace{ \sum_{x \in F_i}f(x), F_i \subseteq E_i, F_i \text{finite} \rbrace}$$ Ahora dejemos que $n \to \infty$ para conseguir $\mu(\bigcup_{n\in \Bbb N}E_n)\ge\sum_{n\in \Bbb N}\mu(E_n)$ .

Para la desigualdad inversa, observe que para cualquier $\sum_{i=1}^n\sum_{x \in F_i}f(x) \in \left\{ \sum_{x \in F}f(x), F \subseteq \cup E_n, F \mbox{ finite} \right\}$ tenemos $\sum_{i=1}^n\sum_{x \in F_i}f(x)< \sum_{n\in \Bbb N}\sup \lbrace{ \sum_{x \in F_i}f(x), F_i \subseteq E_i, F_i \text{finite} \rbrace}$ así $\mu(\bigcup_{n\in \Bbb N}E_n)=\sum_{n\in \Bbb N}\mu(E_n)$ .

Para $(ii)$ Tienes que escribir $X$ como una unión contable de conjuntos con medida finita, no puedo entender lo que has escrito. Escribe $X=A\cup A^c$ ya ha encontrado la medida de $A$ ahora encontramos que de $A^c$ .