Según esta respuesta , $\sqrt{n!}$ no tiene soluciones enteras para $n>1$ debido al postulado de Bertrand. Sin embargo, $\sqrt{n!+1}$ tiene soluciones enteras en 4,5 y 7. ¿Hay alguna explicación sencilla de por qué es así?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tim Almond
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No sabemos mucho sobre este último problema Se conjetura que no existen más soluciones, pero tal vez sí. La mejor explicación sencilla que podemos dar es que, como $n!$ tiene un tipo de factorización muy específico, hay una razón por la que es difícil que también otros tipos muy específicos, como los de los cuadrados. Por el contrario, $n!+1$ no tiene ese tipo de factorización especial. Pero $n!+1=m^2$ equivale a $n!=(m-1)(m+1)$ , una factorización útil que tiene oportunidades muy diferentes en comparación con $n!=m^2$ ya que podemos poner diferentes factores primos de $n!$ en cada uno de $m\pm1$ . (Bueno, los dos estarán igualados).
Además, hay que tener en cuenta que el hecho de que una ecuación diofantina no tenga ninguna solución o tenga un puñado de soluciones pequeñas es a veces casi una cuestión de suerte. Lo que quiero decir con esto es lo siguiente: un montón de resultados se mantienen para "todos los enteros positivos suficientemente grandes", por lo que a menudo podemos descartar soluciones más allá de un cierto punto, pero en el peor de los casos hay que comprobar los valores anteriores uno por uno. Si alguien prueba lo que todas las soluciones de $n!+1=m^2$ son, la prueba involucrará alguna lógica que excluye todas las soluciones, excepto las más pequeñas, pero las pocas que conocemos (¿además de algunas más?) simplemente lo lograrán. O eso, o resultará que existen infinitas soluciones. (Eso contradiría la conjetura del abc, que es sólo una conjetura, pero muy entretenida).
