Calcular el producto de estos $98$ números racionales

Question

$$ \left ( 1 + \frac {1}{2} \right ) \left ( 1 + \frac {1}{3} \right ) \left ( 1 + \frac {1}{4} \right ) ... \left ( 1 + \frac {1}{99} \right ) $$

Claro que podría hacerlo factor por factor, pero tiene que haber una forma más eficiente. ¿Alguien lo sabe?

Answer 1

Escríbelo como $$ \frac {3}{2} \cdot \frac {4}{3} \cdot \frac {5}{4} \cdots \frac {100}{99}. $$

Ahora las cosas se cancelan.

Answer 2

Sólo por diversión, hay una forma clara de estimar productos como éste.

Recuerda eso, $e^x \geq 1+x $ si $x \geq 0 $ . Aprovechando esto que escribimos,

$$ \left (1+ \frac {1}{2} \right ) \cdot\left (1+ \frac {1}{3} \right ) \cdots\left (1+ \frac {1}{99} \right ) \leq e^{1/2+1/3+ \cdots 1/99} =e^{H_{99}-1} $$

$H_{99}$ es el número armónico 99 que puede ser aproximado usando una identidad debida a Euler, $ \lim_ {n \rightarrow \infty } H_n - \ln (n) = \gamma \approx .5772 $ . Usando esto estimamos $H_{99}= \ln (99)+.5772$

$$ \left (1+ \frac {1}{2} \right ) \cdot\left (1+ \frac {1}{3} \right ) \cdots\left (1+ \frac {1}{99} \right ) \leq e^{ \ln (99)+.5772-1} = 99e^{.5772-1} \approx 99(.5772) \approx 57 $$

Que está dentro del 14% de la respuesta real. Esto puede mejorarse si no nos aproximamos al primer par de factores con un exponencial, ya que este reemplazo contribuye a la mayor fuente de error (por ejemplo, dejar el $(1+1/2)$ término solo). También hay algunas estimaciones mejores de los números armónicos (por ejemplo, la ecuación 6.66 de "Matemáticas concretas" de Donald Knuth), pero no producen mejoras significativas.

Answer 3

Si no te gusta la forma en que los matemáticos reescriben inmediatamente las fracciones como $3(+) \frac17 $ a $ \frac {22}7$ (lo que sugiere reemplazar $1+ \frac1n $ por $ \frac {n+1}n$ ), puede que te guste el siguiente enfoque. Contemplar la secuencia $$ 2,3,4,5,6,7, \ldots ,100. $$ El segundo término es $ \frac12 $ veces más grande que la primera, luego la tercera es $ \frac13 $ veces más grande que el segundo (de modo que es $(1+ \frac12 )(1+ \frac13 )$ veces más grande que el primer término), luego el cuarto término es $ \frac14 $ veces más grande de nuevo, etc. Ahora, ¿cuántas veces más grande es el término final que el primero?