Cómo resolver $xy'+y+x^4y^4e^x=0$ ?

Question

He probado un montón de trucos pero sigo sin poder resolver la ecuación diferencial de primer orden $$ xy'+y+x^4y^4e^x=0 $$

No es una ecuación homogénea o isobárica, no es una ecuación lineal simple y tampoco es una ecuación exacta.

Para una ecuación diferencial exacta necesitaría eso: $$\frac{\partial x}{\partial x}=\frac{\partial(y+x^4y^4e^x)}{\partial y},$$ que no es el caso.

Ahora también he tratado de encontrar algún tipo de factor integrador $\lambda(x,y)$ para que la ecuación anterior sea exacta. Pero esto dio lugar a otra ecuación difícil:

$$ x\frac{\partial \lambda}{\partial x}+(y+x^4y^4e^x)\frac{\partial \lambda}{\partial y}+4\lambda x^4y^3e^x=0 $$

¿No sé cómo proceder para resolver la ecuación diferencial anterior? Estoy pensando en sustituirla por una serie, pero me temo que esto también complicaría mi problema :(. Se agradecen todos los consejos (sustituciones, ...).

Answer 1

Sugerencia

Dividir todo por $y^4$ y supongo que el cambio de variable $\frac{1}{y^3}=z$ se aclarará. La ecuación debería ser $$3 e^x x^4-x z'+3 z=0$$

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 2

Usted escribe: $xy'+y= - x^4 e^xy^4$ . Consideremos dos casos:

Caso 1: $y=0$ . Es fácil ver que $y=0$ es una solución de la ecuación.

Caso 2: $y\ne 0$ . Dividiendo ambos lados de la ecuación por $y^4$ obtenemos $$x.y^{-4}y+y^{-3}=-x^4.e^x.$$ Poner $z=y^{-3}$ . Entonces $z'=-3y^{-4}y'$ . Así que, $y^{-4}.y'=-\frac{1}{3}z$ . Entonces obtenemos $$-\frac{1}{3}xz'+z=-x^4e^x,$$ o $$xz'-3z=3x^4e^x,$$ o $$z'-\frac{3}{x}z=3x^3 e^x$$ Multiplicando $\frac{1}{x^3}$ dos lados de esta última ecuación, obtenemos $$\frac{1}{{{x^3}}}z' - \frac{3}{{{x^4}}}z = 3{e^x},$$ o puede escribir en el formulario $$\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{{{x^3}}}.z} \right) = 3{e^x}.$$ Esto lleva a $$\frac{1}{{{x^3}}}z = \int {3{e^x}dx} = 3{e^x} + C.$$ Así, obtenemos $z=3x^3e^x+Cx^3$ . Pero $z=y^{-3}=\frac{1}{y^3}$ deducimos $$y = \frac{1}{{\sqrt[3]{z}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3{x^3}{e^x} + C{x^3}}}}}.$$