Demostrando que $\mathbb{R}$ con una subbase específica es la topología discreta

Question

El problema: Dejemos que $\mathcal{S}$ sea una subbase para una topología $\mathcal{T}$ en el plató $\mathbb{R}$ . Si todos los intervalos cerrados $[a,b]$ con $a<b$ , están en $\mathcal{S}$ , demuestre que $\mathcal{T}$ es la topología discreta.

Solución: Para demostrar que $\mathcal{T}$ es la topología discreta, basta con demostrar que todo subconjunto es (cerrado) abierto. Sea $B\subseteq X$ . Aviso $$ B=\bigcup_{b\in B}\{b\}. $$

Consideremos dos intervalos cerrados $[a,b]$ con $a<b$ y $[b,c]$ con $b<c$ . Estos son elementos de la subbase, por lo tanto hay intersección $\{b\}=[a,b]\cap[b,c]$ es un elemento de la base. Por lo tanto, para cualquier $b\in\mathbb{R}$ el singleton $\{b\}$ está abierto. Como tal, $B$ siendo la unión de conjuntos abiertos es a su vez un conjunto abierto.

Answer 1

Sí, esa prueba funciona. Tenga en cuenta que la cláusula $a < b$ deja de usar uno $[a,a]=\{a\}$ como un intervalo cerrado (aunque es un intervalo cerrado en cualquier conjunto ordenado realmente, sólo uno degenerado). Pero cualquier punto $x$ en $\Bbb R$ tiene un punto por debajo, como $x-1$ y uno por encima, digamos $x+1$ Así que $\{x\}= [x-1,x] \cap [x,x+1]$ está en la base para cualquier $x$ . Este último argumento es un poco más preciso que el tuyo IMHO, ya que parte de un $x$ . Si utilizáramos la misma subbase en $[0,1]$ digamos, $\{0\}$ y $\{1\}$ no hubiera sido abierta y la topología no fuera discreta.