¿Por qué es $\exp(x)$ no es definible en ningún intervalo en $\Bbb R_{\mathrm{an}}$ ?

Question

Según estas notas por Yilong Zhang la función $x\mapsto e^x$ no es definible en cualquier intervalo en el $o$ -estructura mínima $\Bbb R_{\mathrm{an}}$ donde esta última se define como la estructura sobre $\Bbb R$ generado por $$\mathcal F_{\mathrm{an}}=\{f\mid f=g_{|_{[-1,1]^n}},\text{ $ g $ is a real analytic function defined in a nbhd of $ [-1,1]^n $}\}.$$

A partir de esta definición me parece claro que $x\mapsto e^x$ es definible en esta estructura en el intervalo $[-1,1]$ . Supongo que la afirmación correcta debería ser que $x\mapsto e^x$ no es definible en $\Bbb R_{\mathrm{an}}$ como una función definida sobre el conjunto de $\Bbb R$ .

¿Es correcto lo que he entendido? Y si es así, ¿cómo se puede ver que $x\mapsto e^x$ no es definible en $\Bbb R_{\mathrm{an}}$ como función $\Bbb R\to \Bbb R$ ?

Answer 1

Como comenta el OP, la línea relevante está justo antes del ejemplo $2$ : "Por ejemplo, $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ para $\vert x\vert\le 1$ es $\mathbb{R}_{an}$ -definible, pero $x\mapsto e^x$ no es (en ningún intervalo)".

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Por supuesto, se trata de un error tipográfico, ya que, por ejemplo $x\mapsto e^x$ en el intervalo $[-1,1]$ está literalmente integrada en la estructura $\mathbb{R}_{an}$ en el nivel de la firma. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esta frase se produce en el contexto de la discusión de $\mathbb{R}_{sa}$ y antes $\mathbb{R}_{an}$ se ha definido en primer lugar. Así que creo que la errata es en realidad " $\mathbb{R}_{an}$ " por " $\mathbb{R}_{sa}$ no una mención errónea de los intervalos.

Para corroborar esto, nótese que más adelante Zhang dice (en la parte superior de la página $3$ ) "La función $x\mapsto \arctan(x)$ , $x\in\mathbb{R}$ es $\mathbb{R}_{an}$ -definible, pero $x\mapsto e^x, x\in\mathbb{R}$ no lo es".

Mientras tanto, si la memoria no falla, la prueba de la indefinición de (la totalidad de) $x\mapsto e^x$ en $\mathbb{R}_{an}$ es extremadamente difícil.