Derivada de la matriz exponencial

Question

¿Cuál es la derivada de $e^{(x-y)Q}$ con respecto a $y$ , donde $x$ y $y$ son escalares y $Q$ ¿es una matriz de tasas de transición?

Answer 1

En primer lugar, podemos escribir

$e^{Q(x - y)} = e^{Qx}e^{-Qy}; \tag 1$

esto se deduce casi exactamente del mismo argumento que se utiliza para demostrar

$e^{a + b} = e^ae^b \tag 2$

para escalares ordinarios $a$ y $b$ la aritmética y el álgebra implicados se trasladan esencialmente de (2) a (1) ya que las matrices $xQ$ y $yQ$ conmutar; esta afirmación se ha demostrado muchas veces en este sitio y en otros lugares de la web, y en muchos libros de texto, y se aceptará aquí sin más comentarios.

Aceptar (1) nos permite tratar el problema abordando $(e^{xQ})'$ y $(e^{yQ})'$ por separado; por lo tanto, tenemos que encontrar $(e^{zQ})'$ , donde $z$ es una variable escalar; por supuesto, tenemos por definición

$e^{zQ} = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{(zQ)^n}{n!} = \sum_0^\infty \dfrac{z^n Q^n}{n!}, \tag 3$

y si además aceptamos que se puede diferenciar término a término obtenemos

$(e^{zQ})' = \displaystyle \sum_1^\infty \dfrac{nz^{n - 1} Q^n}{n!} = \sum_1^\infty \dfrac{z^{n - 1} Q^n}{(n - 1)!}$ $= Q \displaystyle \sum_1^\infty \dfrac{z^{n - 1} Q^{n - 1}}{(n - 1)!} = Q \sum_1^\infty \dfrac{(z Q)^{n - 1}}{(n - 1)!} = Q\sum_0^\infty \dfrac{(z Q)^n}{n!} = Qe^{zQ}; \tag 4$

esto, por supuesto, puede aplicarse inmediatamente a $e^{xQ}$ :

$(e^{xQ})' = Qe^{xQ}; \tag 5$

la aplicación a $e^{-yQ}$ se tiene escribiendo

$(e^{-yQ})' = (e^{y(-Q)})' = -Qe^{y(-Q)} = -Qe^{-yQ}; \tag 6$

ahora podemos utilizar (1) y calcular

$(e^{Q(x - y)})_x = (e^{Qx} e^{-Qy})_x = (e^{Qx})_x e^{-Qy} = Qe^{Qx} e^{-Qy} = Qe^{Q(x - y)}; \tag 7$

y de manera similar,

$(e^{Q(x - y)})_y = (e^{Qx} e^{-Qy})_y = e^{Qx} (e^{-Qy})_y = e^{Qx} (-Qe^{Qy}) = -Qe^{Qx}e^{-Qy} = -Qe^{Q(x - y)}; \tag 8$

en cada una de (7) y (8), podemos tratar una de las matrices $e^{xQ}$ , $e^{-yQ}$ como una constante ya que cada una depende precisamente de un de $x$ , $y$ .

Answer 2

Tenemos

$$F(x,y)=\exp((x-y)Q)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x-y)^n}{n!}Q^n$$

Esto implica

$$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!}Q^n=\left[ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(x-y)^n}{n!}Q^n\right]Q=\exp((x-y)Q)Q$$ $$\dfrac{\partial F}{\partial y}=-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!}Q^{n}=-\left[\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(x-y)^n}{n!}Q^n\right]Q=-\exp((x-y)Q)Q$$