Demostrar que la integral de Lebesgue de una función converge a la medida de un conjunto.

Question

Dejemos que $(X,\Sigma, \mu)$ sea un espacio de medidas. Intento demostrar que si $f$ es es $\mu$ -sumable y $\mu$ es finito (es decir $\mu(X)<\infty$ ) entonces

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_X |f|^{1/n} d\mu = \mu(\{x\in X: f(x)\neq 0\}).$$

Creo que me refiero a aplicar el teorema de convergencia dominante de Lebesgue, pero no estoy seguro de cómo empezar. Estaba pensando que tal vez tomando la función dominada para ser $\max\{|f|,1\}$ . Pero no estoy seguro de si $|f|^{1/n}$ es medible para $n\in \mathbb{N}$ .

¿Cómo debo proceder para demostrar que la ecuación es correcta?

Answer 1

La función $\varphi(t) := \sqrt[n]{t}$ es continua en $[0,+\infty)$ , por lo que la composición $\varphi\circ |f|$ es medible para toda función medible $f$ .

El límite puntual de la secuencia $|f|^{1/n}$ es $$ g(x) := \begin{cases} 0, &\text{if}\ f(x) = 0,\\ 1, &\text{if}\ f(x) \neq 0. \end{cases} $$ Desde $t^{1/n}\leq t$ por cada $t\geq 1$ tenemos que $|f|^{1/n} \leq \max\{|f|, 1\}$ . Podemos entonces pasar al límite en la integral utilizando el Teorema de Convergencia Dominada, obteniendo $$ \lim_n \int_X |f|^{1/n}\, d\mu = \int_X g \, d\mu = \mu\{x\in X:\ f(x) \neq 0\}. $$