¿Por qué es $\arctan\frac{x+y}{1-xy} = \arctan x +\arctan y$ ?

Question

¿Por qué es $\arctan\frac{x+y}{1-xy} = \arctan x +\arctan y$ ?

Se dice que esto se deriva de la trigonometría, pero no he podido encontrar por qué es así.

Answer 1

Bien, mlc. Responderé a la pregunta. Aquí hay una prueba trigonométrica. No es necesario el cálculo. Afirmación: $\arctan(\frac {x+y} {1-xy})=\arctan(x)+\arctan(y)$ siempre que $|xy|<1$ .

Prueba. Elija $(x,y)\in\big\{|xy|<1\big\}$ de forma arbitraria. Esta fórmula es obvia si $x=0,$ por lo que primero hay que tener en cuenta cuándo $x>0$ . Demostramos que $\arctan(x)+\arctan(y)\in\Big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)$ . Nota $|xy|<1$ si y sólo si $-\frac{1}{x}<y<\frac1x$ . Desde $\arctan$ es una función creciente e impar, resulta que $$-\arctan\Big(\frac{1}{x}\Big)<\arctan(y)<\arctan\Big(\frac{1}{x}\Big).$$ Sí, es cierto, $\arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2},$ y así $$-\frac\pi2<2\arctan(x)-\frac\pi2<\arctan(x)+\arctan(y)<\frac\pi2.$$ Esto muestra $\arctan(x)+\arctan(y)$ pertenece al rango de $\arctan$ , $\Big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)$ . La identidad de la suma de ángulos nos dice $$\begin{equation}\begin{split}\tan(\arctan(x)+\arctan(y)) &=\frac{\tan(\arctan(x))+\tan(\arctan(y))}{1-\tan(\arctan(x))\tan(\arctan(y))} \\ & =\frac{x+y}{1-xy}\end{split}\end{equation}$$

Por lo tanto, $$\begin{equation}\begin{split}\arctan(x)+\arctan(y)&=\arctan(\tan(\arctan(x)+\arctan(y))) \\ &=\arctan\Big(\frac{x+y}{1-xy}\Big)\end{split}\end{equation}$$ Esto demuestra la identidad para $x>0,$ así que ahora asume $x<0$ . Entonces $-x>0$ y $|xy|<1$ $\iff$ $-\frac{1}{x}<-y<\frac{1}{x}.$ Finalmente, $$\begin{equation}\begin{split}\arctan(x)+\arctan(y) & =-\big(\arctan(-x)+\arctan(-y)\big) \\ & =-\arctan\Big(\frac{-x-y}{1-(-x)(-y)}\Big) \\ & =\arctan\Big(\frac{x+y}{1-xy}\Big)\end{split}\end{equation}$$ El resultado es el siguiente.