¿Por qué es $\arctan\frac{x+y}{1-xy} = \arctan x +\arctan y$ ?

Question

¿Por qué es $\arctan\frac{x+y}{1-xy} = \arctan x +\arctan y$ ?

Se dice que esto se deriva de la trigonometría, pero no he podido encontrar por qué es así.

Answer 1

He aquí una prueba que no tiene esencialmente nada que ver con la trigonometría:

Mantenga $y$ constante y diferenciar la función $$f(x) = \arctan{\frac{x + y}{1 - xy}} - \arctan{x} - \arctan{y}$$ para encontrar que

\begin{align}f'(x) &= \frac{1}{1 + \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)^2} \cdot \left(\frac{(1 - xy) - (x + y)(-y)}{(1 - xy)^2}\right) - \frac{1}{1 + x^2} \\ &= \frac{(1 - xy)^2}{(1 - xy)^2 + (x + y)^2} \cdot \left(\frac{1 - xy + xy + y^2}{(1 - xy)^2}\right) - \frac{1}{1 + x^2} \\ &= \frac{1 + y^2}{1 - 2xy + x^2y^2 + x^2 + 2xy + y^2} - \frac{1}{1 + x^2} \\ &= \frac{1 + y^2}{1 + x^2 + y^2 + x^2y^2} - \frac{1}{1 + x^2} \\ &= \frac{1 + y^2}{(1 + y^2) + x^2 (1 + y^2)} - \frac{1}{1 + x^2} \\ &= \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0 \end{align}

Así que $f$ es una constante. Dejando que $x = 0$ encontramos que $f(0) = 0$ y la identidad sigue.

Answer 2

La siguiente identidad es útil para su propósito

$$ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}. $$

Para demostrarlo basta con utilizar la identidad $ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$ y las identidades para $\sin(a\pm b)$ y $\cos(a\pm b)$ .

Answer 3

Cálculo con números complejos: $$ (1+xi)(1+yi)=(1-xy)+(x+y)i $$ Toma arg en ambos lados $$ \arctan x + \arctan y = \arg(1+xi)+\arg(1+yi) = \arg((1+xi)(1+yi)) \\ = \arg((1-xy)+(x+y)i) = \arctan\frac{x+y}{1-xy} $$

Answer 4

NO lo utilice a ciegas para los cálculos. Ejemplo: $\arctan(5000)+\arctan(5000) \sim \pi/2+\pi/2=\pi$ con la fórmula citada se obtiene $\arctan(10000/(1-25\times10^6))\sim\arctan(-1/2500)\sim~0$ . Como dijo André Nicolas, hay que tener en cuenta los rangos arctanos

Answer 5

Considere $$A=\arctan(x)+\arctan(y),$$ entonces $$\tan(A)=\tan(\arctan(x)+\arctan(y)),$$ que también es igual: $$\frac{\tan(\arctan(x))+\tan(\arctan(x))}{1-\tan(\arctan(x)) + \tan(\arctan(y)},$$ que se simplifica para dar: $$\tan(A)=\frac{x+y}{1-xy}.$$

Así, $$\arctan(x)+\arctan(y)=A=\arctan(\tan(A))=\arctan\frac{x+y}{1-xy}.$$