Si $f,g$ diferenciable en $(a,b)$ puedo decir $f+g$ diferenciable en $(a,b)$ ?

Question

Sé que si $f$ y $g$ son diferenciables en $a$ entonces $f+g$ es diferenciable en $a$ . Pero, ¿es también cierto para el caso de un intervalo abierto? Por ejemplo, si $f,g$ son diferenciables en $(a,b)$ , lo hace $f+g$ también tienen que ser diferenciables en $(a,b)$ ?

Answer 1

Sí, es cierto. Que una función sea diferenciable en un intervalo abierto significa exactamente que es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Por tanto, si $f$ y $g$ son diferenciables en cada punto, entonces $f+g$ también es diferenciable en todos los puntos.

Answer 2

Sugerencia : Para todos $x\in (a,b),$ y para cualquier $h\ne0$ tal que $x+h\in(a,b),$ tenemos que $$\begin{align}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}h &:=\frac{\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}h\\ &=\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}h\\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}h+\frac{g(x+h)-g(x)}h.\end{align}$$ Por supuesto, $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$ y $\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}h$ existen para todos $x\in(a,b).$ Entonces, ¿qué podemos decir sobre $\lim\limits_{h\to 0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}h$ para todos esos $x$ ?

Nota : Lo contrario no tiene por qué ser cierto. Sea $f$ sea su función no diferenciable favorita y que $g=-f.$

Answer 3

Sí, dejemos que $f$ y $g$ sean funciones reales en un intervalo abierto $(a,b)$ donde $(a,b)$ es un subconjunto de los números reales. Entonces, si $f$ y $g$ son diferenciables en $a$ entonces $f + g$ es diferenciable en $a$ .

Así, $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$ es diferenciable en $(a,b)$

De hecho, esto también es cierto para lo siguiente en un intervalo abierto.

1) $(\alpha f)'(a) = \alpha f'(a)$ donde $\alpha$ es un número real

2) $(fg)'(a) = g(a)f'(a) + f(a)g'(a)$

3) $(\frac{f}{g})'(a) = \frac{g(a)f'(a) - f(a)g'(a)}{g^2} $