Los primos de la forma $n^2+1$ proporcional a $p_n^2$ ¿convergen?

Question

Un problema abierto y famosamente difícil es (des)demostrar la infinitud de los primos de la forma $n^2+1$ . Mi pregunta está relacionada con estos primos:

Supongamos que hay infinitos primos de la forma $n^2+1$ . Sea $p_k$ denotan el $k$ -año primo y $s_k$ el $k$ -a primo de la forma $n^2+1$ . Mi pregunta es: ¿ $$\lim_{k \to \infty} s_k/p_k^2$$ Existe, y si es así, ¿a qué converge?

Conjeturo que sí, aunque he tenido una cantidad inusual de problemas para encontrar información sobre la asintótica para los primos de la forma $n^2+1$ . Sospecho que una obra de Bateman y Horn para ser útil aquí, pero es un poco de alto nivel para mí.

Calculé los primeros ~dos millones de primos de la forma $n^2+1$ y trazado $s_k/p_k^2$ para que se diviertan.

Answer 1

Existe una fórmula asintótica conjeturada (de hecho a partir de la conjetura de Bateman-Horn) para el número de enteros positivos $k\le x$ para lo cual $k^2+1$ es primo, de la forma $\sim Cx/(\log x)$ para una determinada constante positiva $C$ . Esto implica que el $n$ Este número entero $k$ tiene un tamaño asintóticamente igual a $\sim \frac1C n(\log n)$ y, por tanto, que el $n$ Esta es la primera $k^2+1$ tiene un tamaño asintóticamente igual a $\sim \frac1{C^2} n^2(\log n)^2$ . Desde $p_n \sim n\log n$ por el teorema del número primo, vemos que $s_n/p_n^2$ tiende conjeturalmente a la constante $\frac1{C^2}$ .

No puedo recuperarlo ahora, pero la constante $C$ puede ser estimada explícitamente, por lo que debería dar un valor numérico para la constante $\frac1{C^2}$ que podría comprobarse con sus exploraciones numéricas.