Pon un ejemplo de espacio euclidiano.

Question

En la pregunta se plantea qué será si quitamos una condición del teorema.

$\textbf{Theorem}$ : Dejemos que { $\phi_{n}$ } sea un sistema ortonormal en un espacio euclidiano completo R. Entonces { $\phi_{n}$ } es completa si y sólo si R no contiene ningún elemento no nulo ortogonal a todos los elementos de { $\phi_{n}$ }.

$\textbf{Question}$ : Dé un ejemplo de espacio euclidiano $R$ y el sistema ortonormal { $\phi_{n}$ } en $R$ tal que R no contiene ningún elemento no nulo ortogonal a cada $\phi_{n}$ aunque { $\phi_{n}$ } no está completo.

Entonces, si podemos dar tal ejemplo, por el teorema anterior, $R$ no puede ser completa.

$\textbf{Definition 1}$ :{ $\phi_{n}$ } es completa si una combinación lineal de elementos de { $\phi_{n}$ } son por todas partes densas en $R$

$\textbf{Definition 2}$ : Espacio euclidiano $R$ si $R$ es un espacio lineal con producto escalar.

Para ser sincero, yo mismo no pude encontrar ningún ejemplo. Siempre me parece un reto cuando se elimina una condición del teorema, es obvio que no se cumple. Si no, no sería un teorema. Gracias de antemano.

Answer 1

Tome un espacio de Hilbert separable $H$ con base $e_1, ..., e_n, ...$ Tomemos ahora el subespacio generado (algebraicamente) por $e_2,e_3, ..., e_n, ...$ y el vector $e_1 + 1/2 e_2 + ... + 1/n e_n + ...$ . Se trata de un espacio euclidiano. El sistema $e_2, ... , e_n, ...$ es ortonormal máxima, pero no es completa, porque el propio subespacio es denso en $H$ y $e_2, ..., e_n,...$ no es un sistema completo en $H$ .