Hay $n$ ( $n\ge 3$ ) dados puntos en el plano tales que tres de ellos cualesquiera Encuentre el mayor ángulo posible $n$ .
Respuestas
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Está claro que se pueden disponer 4 puntos de esa manera, es decir, en un rectángulo. Afirmo que 4 es el mayor posible.
Entre sus $n$ puntos, que $A$ y $B$ sean dos puntos con la menor distancia entre ellos. Esto significa que en cualquier triángulo con vértices $A$ y $B$ el ángulo opuesto al lado $\overline{AB}$ será siempre el más pequeño. Así, en cualquier triángulo $ABC$ el ángulo recto debe estar en el vértice $A$ o en el vértice $B$ . Como no hay tres puntos que puedan estar en una línea, hay como máximo un punto $C_1$ con la propiedad de que $ABC_1$ tiene un ángulo recto en $A$ y, del mismo modo, existe como máximo un punto $C_2$ tal que $ABC_2$ tiene un ángulo recto en $B$ .
Silver Gun
Puntos
25
¿Qué te parece esto? Deja que $n$ sea el número máximo de puntos que se pueden colocar en el plano que tenga esta propiedad. Por lo tanto, se puede obtener una solución particular de esto dejando tres puntos en el plano al principio, y luego añadiendo los siguientes puntos para llegar a n puntos. Esto se debe a que si el conjunto tiene $n$ puntos, entonces cualquier subconjunto arbitrario de $n-1$ de este conjunto tiene también la propiedad de que tres puntos cualesquiera de él forman un ángulo recto, por lo que podemos "construir" el conjunto de $n$ puntos del que tiene $n-1$ (argumento inductivo).
Sitúa en el plano tres puntos que formen un ángulo recto. Di que están colocados de forma que $\{a,b,c\}$ tiene un ángulo recto en $b$ . Si estoy tratando de colocar $d$ en el avión, $ad$ debe ser perpendicular a $ab$ y $cd$ debe ser perpendicular a $bc$ lo que deja la posibilidad de que $\{a,b,c,d\}$ forman un rectángulo.
Intentemos colocar un quinto punto en el plano. Ya sabemos que un conjunto de cuatro puntos que satisfacen esta propiedad, lo llamamos $\{a,b,c,d\}$ deben formar un rectángulo. Supongamos que tenemos un quinto punto posiblemente situado en el plano, llámalo $e$ , por lo que ahora tenemos $\{a,b,c,d,e\}$ que satisface esta propiedad. Consideremos dos conjuntos de cuatro puntos de este conjunto, digamos $\{a,b,c,d\}$ y $\{a,b,c,e\}$ . Ambos forman un rectángulo porque satisfacen su propiedad, pero tienen tres vértices en común, por lo que $d = e$ contradiciendo el hecho de que el conjunto contiene $5$ puntos distintos. Dado que cualquier conjunto con $n$ puntos y $n \ge 5$ contendría un conjunto con $5$ puntos con esta propiedad, $n \ge 5$ también conduce a una contradicción, por lo que el máximo es $n = 4$ .
Espero que eso ayude,
Anurag Pallaprolu
Puntos
11
Se puede dar una prueba combinatoria utilizando el Principio de Fubini. Consulte "principios y técnicas en combinatoria" de Chen chuang-chong y khee-meng.pp 68
De todos modos, es casi lo mismo que contar el número máximo de puntos que se pueden colocar en un entramado entero tal que no haya tres colineales y la respuesta es lógicamente 4.
Anurag.
