Tengo la teoría de que el axioma de elección es equivalente a la afirmación de que los conjuntos de los distintos cardenales se encuentran ordenados por la cardinalidad. Puedo demostrar que el axioma de elección implica esto. Sin embargo, estoy teniendo problemas para probar de la otra forma. Yo quiero probar, sin elección, que cualquier conjunto es en bijection con un conjunto de distintos cardenales. No sé si esto es cierto, pero si es alguien podría proporcionar una prueba para mí? Gracias.
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user254665
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Si por el cardenal quieres decir cardinal ordinal, tenga en cuenta que AC (el axioma de elección) es equivalente a "Todo conjunto puede ser bien ordenado". Sin AC, tenemos (1) cualquier conjunto de ordinales está bien ordenado por $\in$,y (2) cualquier imagen funcional de un paquete conjunto puede ser bien ordenado, y (3)cualquier pedido es isomorfo a la $\in$ orden en algunos ordinal, y (4) cada ordinal es el fin-isomorfo a un conjunto de infinitos cardenales. (Para ordinal $\alpha$, el conjunto de los infinitos cardenales, que son menos que el infinito cardenal $\omega _ \alpha$, es isomorfo a $\alpha$. Pero podemos negar CA,de manera sistemática, y todavía tenemos (1) a (4). Supongamos que un conjunto de $x$ no puede ser bien ordenado. A continuación, no es 1-a-1 en función de $x$ en cualquier ordinal, y no puede haber un 1-a-1 la función $f_a$ de cada ordinal $a$ a $x$ así $a$, los conjuntos de $a$ $x$ son "totalmente incomparable".
