He mirado el gráfico y sé que es real para todos $x$ que satisfagan $2\pi \mathbb{Z} <x<2 \pi (\mathbb{Z}+1)$ y imaginario o complejo para todos los demás $x$ . Quiero saber si es posible expresar esta ecuación como $f(x)+g(x) i$ donde ambos $f(x)$ y $g(x)$ son reales para todo dominio real.
Respuestas
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El problema que te encuentras es que $b^a$ generalmente necesita ser manejado como un multivalores en contextos como éste en el que $a$ no es un número entero y $b$ no es un real positivo.
Esto significa que para la mayoría de los valores de $x$ hay muchos diferentes números complejos que todos tienen más o menos las mismas pretensiones de ser $\sin(x)^x$ . Cuando $\sin(x)\ge 0$ una de esas opciones será real, y es útil declarar que es el valor de $\sin(x)^x$ pero no tenemos tanta suerte para el $\sin(x)<0$ .
Si realmente tenemos que seleccionar una de las opciones, hay una de ellas que se llama "valor principal" de la expresión -- pero nótese que sigue siendo una elección bastante arbitraria (y especialmente cuando la base del exponente es un real negativo).
Con todas estas salvedades, la decisión de utilizar el valor principal nos lleva a (de verdad) $x$ sólo): $$ \sin(x)^x = |\sin(x)|^x\cos(\theta(x)) + i |\sin(x)|^x\sin(\theta(x)) $$ donde la función de ayuda $\theta$ puede definirse como $$ \theta(x) = \begin{cases} 0 & \text{when } \sin(x) \ge 0 \\ \pi x & \text{when } \sin(x) < 0 \end{cases} $$
(Los otros valores posibles surgen al sumar algún múltiplo de $2\pi x$ a $\theta(x)$ ).
¿Cómo funciona esto? Empezamos por definir $e^z$ para todos los números complejos $z$ dando lugar a un complejo definido con bastante solidez función exponencial $$ e^{x+iy} = e^x\cos(y) + i e^x\sin(y) $$ Entonces podemos definir $b^a$ para significar $e^{ca}$ donde $c$ es un número complejo tal que $e^c=b$ . Sin embargo, siempre hay muchas opciones para $c$ que satisfagan esto y ahí es donde la multivalencia $c$ entra. Por convención, el "principal" $c$ es aquella cuya parte imaginaria está en $(-\pi,\pi]$ .
Cuando $\sin x=0$ esta definición no funcionará. Obtenemos al menos un continuo si seguimos la convención común y establecemos $\sin(0)^0=0^0=1$ pero $\sin(n\pi)^{n\pi} = 0^{n\pi}=0$ para cada número entero positivo $n$ .
Nikos Bagis
Puntos
11
Generalizamos el logaritmo para que sea $$ \log x=\log|x|+i\theta, $$ donde $\theta=0$ si $x>0$ y $\theta=\pi$ cuando $x<0$ .
Es $\log(\sin x)=\log|\sin(x)|+i\theta$ , donde $\theta=0$ si $x\in(2k\pi,2k\pi+\pi)=D_1(k)$ , $k\in\textbf{Z}$ y $\theta=\pi$ si $x\in(2k\pi+\pi,2k\pi+2\pi)=D_2(k)$ .
Por lo tanto, cuando $k\neq 0$ tenemos $$ \sin(x)^x=e^{x\log(\sin x)}=|\sin x|^x\in\textbf{R}\textrm{, if }x\in D_1(k) $$ y $$ \sin(x)^x=e^{x\log(\sin x)}=e^{x\log|\sin x|+ix\pi}=|\sin x|^{x}e^{i\pi x}\textrm{, if }x\in D_2(k) $$
Para el caso $x\rightarrow 0$ tenemos
1. Cuando $x\rightarrow 0^{+}$ : $$ \frac{2 x}{\pi}<\sin x\leq x\textrm{, }\forall x\in \left(0,\frac{\pi}{4}\right).\tag 1 $$ Por lo tanto, $$ x\log\left(\frac{2x}{\pi}\right)<x\log\sin x<x \log x\textrm{, }\forall x\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right) $$ Por lo tanto, sabiendo que $\lim_{x\rightarrow{0}^+}x\log x=0$ obtenemos $$ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x\log\sin x=0.\tag 2 $$ y en consecuencia $$ \lim_{x\rightarrow 0^+}(\sin x)^x=1 $$ 2. Cuando $x\rightarrow 0^{-}$ : Tenemos $(\sin x)^x=e^{x\log|\sin x|+ix\pi}=e^{x\log\sin(-x)+ix\pi}\textrm{, }\forall x\in\left(-\frac{\pi}{4},0\right) $ y si fijamos $h=-x>0$ entonces $(\sin x)^x=e^{-h\log \sin h-ih\pi}$ , $\forall h\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ . Por lo tanto, de la misma manera obtenemos $$ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\log(|\sin x|)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\log(\sin(-x))=-\lim_{h\rightarrow 0^{+}}h\log\sin h=0. $$ y en consecuencia $$ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}(\sin x)^x=1 $$ 3. Cuando $x\rightarrow \pi^{+}$ , obtenemos que $\lim_{x\rightarrow \pi^{+}}\log\sin x=-\infty$ y en consecuencia $$ \lim_{x\rightarrow \pi^{+}}(\sin x)^x=0. $$ y cuando $x\rightarrow \pi^{-}$ , obtenemos que $\lim_{x\rightarrow \pi^{-}}\log\sin x=-\infty$ y en consecuencia $$ \lim_{x\rightarrow \pi^{-}}(\sin x)^x=0. $$
4. Los casos $x\rightarrow 2\pi^{-}$ y $x\rightarrow 2\pi^{+}$ son los mismos con 3. $$ \lim_{x\rightarrow 2\pi^{+}}(\sin x)^x=\lim_{x\rightarrow 2\pi^{-}}(\sin x)^x=0. $$
