Estoy estudiando topología algebraica y después de definir $H_n^{sinp}(X) $ existe un teorema que afirma que $H_*^{sinp}(X) $ es independiente de la estructura simplicial de $X$ . Mi pregunta es, ¿dónde puedo encontrar una prueba de este teorema? También he oído que $H_*^{sinp}(X) $ depende únicamente de la realización geométrica de $X$ . ¿Esto es lo que dice este teorema? Estoy un poco confundido, una pequeña explicación me ayudaría. Gracias
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Anders Eurenius
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Como otros han mencionado, la prueba más común es a través del isomorfismo entre la homología singular y la simplicial. Pero si quieres una prueba puramente simplicial, consulta el Corolario 18.2 en el libro de James Munkres Elementos de topología algebraica .
La idea es subdividir ambas triangulaciones lo suficiente como para que el mapa de identidad tenga una aproximación simplicial, que por tanto induzca un isomorfismo en la homología simplicial.
En general (y este es un punto en el que Hatcher hace hincapié), la homología simplicial es "bastante fácil" de calcular directamente sin conocer la homología de ningún otro espacio. Esto permite empezar a calcular la homología de algunos espacios relativamente simples, incluso antes de conocer cualquiera de las propiedades básicas que debe tener una teoría de la homología.
La mayoría de las propiedades útiles de la homología (como la invariabilidad de la homotopía, la escisión y la secuencia exacta larga) son más fáciles de demostrar utilizando la homología singular. El hecho de que ambas sean naturalmente isomorfas (cuando se restringen a "espacios agradables") permite deducir estas propiedades para la homología simplicial. En particular, implica las propiedades por las que preguntas.
No voy a demostrar el isomorfismo aquí, se lo dejaré a Hatcher (como dice @Berni Waterman, es el teorema 2.27). Si no conoces la homología singular, vale la pena aprenderla antes de pasar a la demostración.
