Es bien conocido que un grupo no puede ser escrito como la unión de dos de sus apropiado de los subgrupos. Alguien ha llegado a través de algunas de las consecuencias de este hecho? La pequeña lo que sé es que si H es un buen subgrupo de G, entonces G es generado por el complemento de G-H.
Respuestas
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Una consecuencia de ello es que si un grupo finito $G$ tiene sólo dos adecuada subgrupos, a continuación, el grupo en sí debe ser cíclica. Esto se ve de la siguiente manera: Por la consecuencia que el grupo tiene al menos un elemento de a $g$ que no pertenece a ninguno de los adecuado de los subgrupos. Pero si no hay otros subgrupos, entonces el subgrupo generado por a $g$ no puede ser un buen uno, y por lo tanto debe ser todos los de $G$.
Esto le da un(otro) fácil la prueba de la ciclicidad del grupo de orden $pq$ donde $p<q$ son números primos tales que $q\not\equiv 1\pmod p$. Por los teoremas de Sylow sólo hay un subgrupo de orden $p$, y sólo uno, de orden $q$, por lo que el resultado anterior se aplica.
Alex
Puntos
36
(Una muy tardía respuesta) Para un grupo de $G$, vamos a $S_G$ el conjunto de la auto-centralización de los subgrupos, $S_G := \{H \le G \mid H = C_G(H) \}$.
La proposición: no Hay ningún grupo $G$ $|S_G| = 0$ o $2$.
Prueba: Esto se desprende de la caracterización de la auto-centralización de los subgrupos como la máxima (entre) abelian subgrupos (que existen por el lema de Zorn). Por lo tanto $G$ es la unión de su máxima abelian subgrupos, como este de la unión contiene todos los subgrupos cíclicos.
La reformulación, esto nos dice que el mapa de la red de subgrupos a sí mismo, el envío de un subgrupo a su centralizador, siempre tiene al menos $3$ puntos fijos si $G$ es nonabelian (no sé lo útil que esto es así). Uno se puede imaginar fácilmente la generalización de tales declaraciones a otras propiedades.
