¿Cuál es la diferencia entre una versión impredicativa y una predicativa del axioma de separación en ZFC:
$$\forall x \exists y \forall z ( z\in y \leftrightarrow (z \in x \wedge \phi (z)) $$
¿Cuáles son las preocupaciones filosóficas al adoptar una versión impredicativa?
Hay que remitirse al llamado jerarquía acumulativa :
Una de las motivaciones de la $\mathsf {ZFC}$ axiomas es la jerarquía acumulativa de conjuntos introducida por John von Neumann. Desde este punto de vista, el universo de la teoría de conjuntos se construye por etapas, con una etapa para cada número ordinal. En la etapa $0$ aún no hay conjuntos. En cada etapa siguiente, se añade un conjunto al universo si todos sus elementos se han añadido en las etapas anteriores. Así, el conjunto vacío se añade en la etapa $1$ y el conjunto que contiene el conjunto vacío se añade en la etapa $2$ . La colección de todos los conjuntos que se obtienen de esta manera, sobre todas las etapas, se conoce como $\mathsf V$ .
Por ejemplo, supongamos que un conjunto $x$ se añade en la etapa $\alpha$ lo que significa que cada elemento de $x$ se añadió en una etapa anterior a $\alpha$ . Entonces todo subconjunto de $x$ también se añade en la etapa $\alpha$ porque todos los elementos de cualquier subconjunto de $x$ también se añadieron antes de la etapa $\alpha$ . Esto significa que cualquier subconjunto de $x$ que el axioma de separación puede construir se añade en la etapa $\alpha$ y que el conjunto de poderes de $x$ se añadirá en la siguiente fase después de $\alpha$ .
Es posible cambiar la definición de $\mathsf V$ de modo que en cada etapa, en lugar de añadir todos los subconjuntos de la unión de las etapas anteriores, sólo se añaden subconjuntos si son definibles en un determinado sentido. Esto da lugar a una jerarquía más "estrecha" que proporciona el universo construible $\mathsf L$ que también satisface todos los axiomas de $\mathsf {ZFC}$ incluyendo el axioma de elección.
Una posible "restricción" es a través de la Esquema del axioma de separación predicativa donde la fórmula $\varphi$ utilizado para "separar" el conjunto $y$ del conjunto existente $x$ debe ser restringido.
Sólo afirma la existencia de un subconjunto de un conjunto si ese subconjunto puede definirse sin referencia a todo el universo de conjuntos.
El axioma aparece en los sistemas de teoría constructiva de conjuntos $\mathsf {CZF}$ así como en el sistema de Kripke-Platek teoría de conjuntos.
El enunciado formal de esto es el mismo que el esquema de separación completa, pero con una restricción en las fórmulas que se pueden utilizar.
La fórmula $\varphi$ contiene sólo cuantificadores acotados. Es decir, todos los cuantificadores en $\varphi$ (si los hay) deben aparecer en el formulario $(\exists x \in y )\psi(x)$ o $(\forall x \in y )\psi(x)$ para alguna subfórmula $\psi$ .
El significado de esto es que, dado cualquier conjunto $x$ y cualquier predicado $\varphi$ hay un conjunto $y$ cuyos elementos son los elementos de $x$ que satisfacen $\varphi$ , siempre y cuando $\varphi$ sólo cuantifica sobre conjuntos existentes, y nunca cuantifica sobre todos los conjuntos. Esta restricción es necesaria desde el punto de vista predicativo, ya que el universo de todos los conjuntos contiene al conjunto que se define. Si se referenciara en la definición del conjunto, la definición sería circular.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
