Las raíces del polinomio con coeficientes reales aparecen en pares conjugados.

Question

Cómo demostrar de forma más sencilla que si un polonimio $f$ tiene sólo coeficientes reales y $f(c)=0$ y $k$ es el complejo conjugado de $c$ entonces $f(k)=0$ ?

Answer 1

Mira $\overline{f(c)}$ y utilizar que la conjugación es un homomorfismo de $\mathbb{C}$ . Es decir, $\overline{a+b} = \overline{a}+\overline{b}$ y $\overline{a\cdot b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ .

Answer 2

Se utiliza el hecho de que los coeficientes de $f$ son reales para demostrar que $$ f(\overline c)=\overline{f(c)}. $$

Answer 3

Hace tiempo que olvidé los detalles, así que tal vez alguien más pueda completar esto. Tampoco veo cómo la gente ha dado formato a la conjugación con la barra de arriba, así que voy a utilizar ~ para la conjugación.

Cuando tomé la variable compleja, la prueba estaba en la línea de:

Supongamos que z1 es efectivamente un cero de f(z). Supongamos que ~z1 es no un cero de f(z). Entonces 1/(fz) no tiene una singularidad en ~z1, es decir, 1/f(z1) es una operación permitida.

Y ahí es donde me falla la memoria: De alguna manera, el profesor (y el libro) muestran que esto lleva a una contradicción.

Sólo es un comienzo

-- JS