Recientemente, me he encontrado con una cosa muy curiosa, a saber:
Sostén en el aire un palo recto de una longitud, digamos, de 1 metro, utilizando tus dedos índices de tal manera que el izquierdo esté, por ejemplo, a 30 cm del centro de masa y el derecho a 20 cm. Ahora empieza a mover lentamente los dedos entre sí.
Me he dado cuenta de que los dedos siempre se juntan en el punto donde está el centro de masa. ¿Cuál es la explicación física para esto?
La explicación es la interacción entre las fuerzas de fricción y la distribución del peso de la regla a medida que los dedos se desplazan por ella.
Los dos dedos no comparten el peso $W$ de la regla por igual. La que está más cerca del centro de masa (CM) soporta la mayor parte. Si son distancias $x$ y $y$ del CM, entonces al equilibrar los momentos encontramos que tienen pesos $L$ y $R$ tal que $L+R=W$ y $xL=yR$ .
El dedo que soporta el mayor peso $N$ (es decir, la más cercana al CM) tiene la mayor fuerza de fricción (estática) $F=\mu_s N$ con la regla, donde $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estática. Por lo tanto, si juntas los dedos lo suficiente como para que uno de ellos se deslice, la regla se deslizará sobre el que tenga menos peso, es decir, el dedo más alejado del CM. Esto acerca el CM a ese dedo, lo que aumenta el peso que soporta y la fuerza de fricción sobre él, y reduce las fuerzas sobre el otro dedo.
Cuando los dedos llegan a la misma distancia del CM soportan el mismo peso. En condiciones ideales, ambos se deslizarán hacia el CM al mismo tiempo. En la práctica, los dedos se deslizan alternativamente, primero uno y luego el otro, hasta que se encuentran en el CM.
Esta alternancia puede producirse porque el coeficiente de fricción cinética $\mu_k$ (en el dedo que se desliza) es ligeramente inferior al coeficiente de fricción estática $\mu_s$ (en el dedo estacionario). El dedo que se desliza "sobrepasa" el punto de equilibrio de la fricción estática ( $\mu_s L=\mu_s R$ ) y continúa hasta que la fuerza de fricción cinética en este dedo sea ligeramente mayor que la fuerza de fricción estática en el dedo inmóvil ( $\mu_sL=\mu_kR$ ).
Matemáticamente, supongamos que empezamos con $x<y$ . Entonces $L>R$ para que el dedo derecho se deslice hacia el centro, aumentando $R$ y disminuyendo $L$ . Se detiene donde $\mu_s L=\mu_k R$ . La nueva posición $y'$ también satisface $xL=y'R$ así que $y'=\frac{\mu_k}{\mu_s}x$ . A continuación, la regla se desliza sobre el dedo izquierdo, y el proceso se repite en nuevas posiciones $x'=\frac{\mu_k}{\mu_s}y'=(\frac{\mu_k}{\mu_s})^2 x$ etc. Así, las sucesivas distancias de "parada" de cada dedo desde el CM se reducen en la proporción $(\frac{\mu_k}{\mu_s})^2$ .
Otra explicación del movimiento alternativo de los dedos es la acción de "vaivén" de la varilla al girar sobre un dedo "portador" y luego sobre el otro. (Gracias a alephzero por señalar esto en el comentario de abajo.) Es más probable que ese movimiento se produzca si los dedos se mueven con relativa rapidez y no los mantienes perfectamente horizontales, de modo que la vara empieza a balancearse. Este efecto también podría describirse matemáticamente, pero quizá no merezca la pena porque depende demasiado de factores humanos desconocidos.
El enlace Demostración de la fricción con una vara de medir proporcionada por valiero92 afirma que el "truco" depende de un coeficiente de fricción uniforme.
No creo que esta afirmación sea cierta. Siempre que el coeficiente de fricción en el CM sea distinto de cero, cuando un dedo llegue al CM soportará todo el peso del bastón. Este dedo dejará de deslizarse y se convertirá en el dedo "portador". La fuerza de fricción en el otro dedo será nula, independientemente de que el coeficiente de fricción sea mayor en ese dedo.
Posibles complicaciones :
(i) El coeficiente de fricción es ligeramente diferente para cada dedo, por ejemplo, porque uno es más graso o está más sudado que el otro. Esto incluye el caso mencionado por alephzero en su comentario más abajo, que el dedo que se desliza golpea una parte pegajosa de la varilla.
Si se trata simplemente de una sección en la que el coeficiente de fricción es repentinamente mucho mayor, y la Ley de Fricción $F=\mu N$ sigue siendo válida, entonces mi explicación anterior sobre la demostración de la fricción se mantiene. El "truco" sigue funcionando, pero la distancia a la que se desliza cada dedo será diferente.
Sin embargo, si la ley de la fricción no se aplica a este "pegamento", y es capaz de proporcionar una fuerza horizontal máxima $G$ entonces el dedo deslizante pasará el CM si $G>\mu_k W$ . Entonces el "truco" fallará.
(ii) La velocidad del dedo móvil es elevada en comparación con la velocidad de rotación de la varilla en torno al dedo "portador". Si el dedo corredor no se mantiene perfectamente nivelado con el dedo portador, la varilla tarda un tiempo finito en inclinarse y redistribuir el peso. Este dedo puede sobrepasar el CM antes de que la fuerza de fricción sobre ese dedo haya alcanzado su valor máximo. La varilla entonces se sobrebalancea y cae.
Esta complicación es más probable que ocurra cuando ambos dedos están cerca del CM. Par de apriete $\tau$ es proporcional a la distancia del dedo pivotante al CM, mientras que el momento de inercia $J$ varía de $\frac13ML^2$ en un extremo a $\frac{1}{12}ML^2$ en el centro, por lo que la aceleración angular $\alpha=\tau/J$ disminuye a medida que el pivote llega al centro. Si la distancia vertical entre los dedos es constante, entonces el ángulo por el que debe girar la varilla aumenta a medida que se acercan.
(iii) Podría aplicarse una fuerza excesiva de manera que ambos los dedos se deslizan contra la varilla al mismo tiempo - como sugiere mike30 en su comentario más abajo. Esto sucederá si las fuerzas aplicadas son $>\mu_s L$ y $>\mu_s R$ respectivamente. Para que la varilla se detenga en un dedo antes de llegar al CM, las fuerzas aplicadas deben ser cada una menor que $\mu_k W$ .
Qué bonito.
La cuestión es que hay fricción entre cada dedo y la regla, y esas son las únicas fuerzas horizontales que actúan sobre la regla. Así que sumándolas podemos encontrar la aceleración horizontal de la regla.
Pero.
La fricción en cada dedo es proporcional a la fuerza normal entre ese dedo y la regla, y cuando los dedos están colocados asimétricamente, la fuerza normal de cada uno es no iguales (estamos hablando de equilibrio estático). Lo que significa que (cuando los dedos están colocados asimétricamente y en movimiento) la fuerza horizontal no es cero, por lo que la regla quiere acelerar.
En el caso físico habitual (donde $\mu_k < \mu_s$ ) el movimiento de la regla estará dominado por estático fricción, y se alternarán hacia adelante y hacia atrás en una serie de movimientos gobernados por una serie geométrica.
El análisis será más suave en el $\mu_k = \mu_s$ aproximación donde las fuerzas varían continuamente, y sospecho que obtendremos algún tipo de oscilador altamente amortiguado.
Este es un problema muy interesante en el sentido de que la física es todo el material que aparece en el primer semestre de las instrucciones (la fricción (tanto estática como cinética), el movimiento relativo, y el equilibrio estático) por lo que es muy accesible, pero al mismo tiempo contiene sutilezas suficientes para requerir un poco de pensamiento integrado para poner todo junto.
Puede que trabaje en esto con algún detalle y le informe.
El bastón se apoya en los dedos y éstos se reparten el peso en una relación proporcional a la inversión de su distancia al CG del bastón.
Cuando empieces a mover los dedos juntos, el bastón sentirá las fuerzas de fricción proporcionales a la carga de los dedos, por lo que el dedo que está cerca del CG llevará el bastón dejando primero que su piel ruede hacia atrás hasta que la tensión de torsión en tu figura sea mayor que la fuerza necesaria para deslizar el bastón sobre el otro dedo, y el dedo más alejado del CG patinará bajo el bastón cercano al CG.
Mientras tanto, la piel de tu dedo activo, habiendo superado la fuerza de fricción inicial, se desenrolla y sobrepasa el empuje del bastón sobre tu dedo pasivo, haciendo que el bastón se incline hacia abajo sobre el dedo pasivo y ejerza una fuerza de fricción adicional por la rotación dinámica y el hecho de que ahora el dedo pasivo está más cerca del CG.
Por lo tanto, el dedo pasivo se convierte en el dedo activo y su piel gira alrededor del hueso y se carga de energía de torsión. El sentido de la acción se invierte y la figura pasiva ahora convertida en activa llevará el bastón en su parte superior dejándolo patinar sobre el otro dedo.
Esta acción de vaivén se repetirá hasta que los dos dedos se encuentren bajo el CG.
En la vida real, dado que equilibramos nuestros dedos mediante el control motor sensorial de nuestro cerebro, nuestros dedos y nuestro cerebro introducirán pequeños retrasos y errores de cálculo, por lo que esta prueba también puede ser una medida de nuestra agudeza autorefleja.
Todas las respuestas anteriores intentan una respuesta física, pero creo que en su mayoría subestiman mucho el poder del cerebro humano. Los dedos se encuentran en el centro de masa debido al bucle de retroalimentación iterativo y al ajuste automático que hace el cerebro para mantener el palo equilibrado. Intenta el mismo experimento con un robot en su lugar, la física por sí sola no puede dar cuenta del proceso de autocorrección de tipo PID que ocurre en tu sistema nervioso mientras tus dedos se mueven juntos.
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