Dejemos que ${X_n}$ sea una muestra IID tal que ${X_i} \sim N(\mu,\sigma^2)$ . Cuando ambos $\mu$ y $\sigma$ son desconocidos, construimos $t(\hat{\mu},s)=\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\mu}-\mu)}{s}$ , donde $s$ es la desviación estándar de la muestra.
La estadística $t(\hat{\mu},s)$ sigue la distribución t exactamente . Deseo conocer la distribución asintótica de $t(\hat{\mu},s)$ .
Entiendo que al Teorema de la cartografía continua en determinadas condiciones, si $\hat{\mu} \xrightarrow{d} X \sim N(\mu,\sigma^2/n)$ entonces $h(\hat{\mu}) \xrightarrow{d} h(X)$ . Sin embargo, en caso de $t(\hat{\mu},s)$ es una función de dos variables aleatorias. Entonces, ¿cómo derivar su distribución asintótica?
También he comprobado Teorema de Slutsky . Eso también requiere que al menos uno de $\hat{\mu}$ y $s$ debería converger a una constante. Ahora bien, por CLT, ambas convergen en la distribución a una variable aleatoria con distribución normal. Sin embargo, combinando LLN podemos decir que $s \xrightarrow{p} \sigma$ . ¿Sería el camino correcto?
EDITAR: Como se señala en el segundo comentario esto no es un duplicado de este . Aparentemente $s$ convergen en probabilidad a una constante sino a una variable aleatoria en la distribución. Esta era la principal duda de si estaba bien ignorar la convergencia en la distribución.
