Máximo y mínimo de una función multivariable

Question

Tengo que encontrar el máximo y el mínimo de la función

$$f(x)=\frac {1}{x^2+y^2}$$

cuando $$x^2+(y-2)^2 \leq 1$$

Lo que hice fue:

1) Encuentra los puntos críticos de la función cuando $x^2+(y-2)^2 < 1$ . Es fácil derivar, encontrar el gradiente y demostrar que no hay ninguno.

2) Si $x^2+(y-2)^2 = 1$ entonces:

$$y=t$$

$$x=\sqrt{1-(t-2)^2}$$

Entonces

$$F(t)=f(\sqrt{1-(t-2)^2},t) = \frac {1} {\sqrt{1-(t-2)^2}^2+t^2}=\frac {1}{1-t^2-4+4t+t^2} =\frac{1}{4t-3}$$

Ahora

$$F'(t)=\frac{-4}{(4t-3)^2}$$

Y esa es la parte rara, porque parece que la función como ningún punto crítico para cualquier posible t. Pero la cosa es que TIENE que hacerlo. Quiero decir, la función TIENE que llegar a un valor máximo en algún punto de $x^2+(y-2)^2 \leq 1$ . Es razonable creer que este punto se encuentra en la "frontera" (no sé cómo se dice en inglés "end of an interval"), es decir, cuando $x^2+(y-2)^2 = 1$ pero no lo encuentro. ¿Estoy haciendo algo mal? No quiero usar Lagrange, si es posible. Podría, lo sé, pero quiero saber qué estoy haciendo mal.

Gracias de antemano a todos por su paciencia con mi inglés y por ayudarme.

Answer 1

Dado que se han descartado los puntos críticos interiores, se buscan los extremos en la frontera de la restricción, es decir, los extremos de $f(x,y)={1\over x^2+y^2}$ se producen a lo largo de $x^2+(y-2)^2=1\implies x^2=1-(y-2)^2$ en el que ${1\over x^2+y^2}={1\over 1-(y-2)^2+y^2}$ . Llamando a esta última función $g(y)$ y observando desde la región original de optimización, $x^2+(y-2)^2\le 1$ que $1\le y\le 3$ queremos maximizar $g(y)$ en $1\le y\le 3$ el valor máximo de $g$ se produce en $y=1\implies x=0\implies f(0,1)=1$ es el máximo que buscamos.

Del mismo modo, el mínimo de $g(y)$ en $1\le y\le 3$ se produce en $y=3\implies x=0\implies f(0,3)={1\over 9}$ es el mínimo que buscamos.

Aquí tienes una imagen para ayudarte a visualizar la geometría de la situación. Esta es la superficie $z=f(x,y)$ trazado sujeto a la restricción $x^2+(y-2)^2\le 1$ . Los extremos se indican con puntos negros.