Problema con la integral de línea

Question

Tengo una pregunta de integral de línea (espero que lo sea) como:

Y la solución a esto es:

Ahora, cuando intento resolver la pregunta usando el método paramétrico tomando:

$x(t)=t$, $y(t)=2t$

y usando la fórmula a continuación.

$\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)|\mathbf {r} '(t)|\,dt$

Obtengo una respuesta de $33\sqrt{5}$

¿Alguien puede decirme por favor si de alguna manera estoy equivocado o la solución anterior contiene error(es)?

Answer 1

Tomando $\mathbf{r}(t)$ como se menciona en tu pregunta, se tiene $$\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)|\mathbf {r} '(t)|\,dt = \int_{0}^{1}(4t^3 + 160t^4 ) \cdot \sqrt{5} ~ dt = 33\sqrt{5},$$

donde la última ecuación se debe a la solución de tu pregunta o cálculos tediosos simples.