Para la pregunta 1, nótese en primer lugar que es importante que el espacio base del haz vectorial sea de dimensión finita, como se puede ver observando el haz de líneas canónico $\gamma$ en ${\mathbb R}P^\infty$ desde $w_k(\gamma^{\oplus k})$ es distinto de cero para todos los $k\geq 1$ Así que $\gamma^{\oplus k}$ ni siquiera es establemente trivial.
Por otro lado, para un haz vectorial $\xi$ sobre un espacio base $X$ que es un complejo finito (CW o simplicial) con $H^i(X)$ finito para todos $i>0$ entonces alguna suma $\xi^{\oplus k}$ es trivial. Esto se puede demostrar mediante un argumento de la teoría de la obstrucción. Para empezar, $\xi\oplus\xi$ es orientable, por lo que es trivial sobre el esqueleto 1 de $X$ . Llama a este paquete $\xi_1$ . La obstrucción a $\xi_1$ siendo trivial sobre el 2-esqueleto es $w_2$ al menos si $\xi_1$ tiene una dimensión de al menos 3 que se puede arreglar sustituyendo el original $\xi$ por $\xi\oplus\xi$ . Así, $\xi_2=\xi_1\oplus\xi_1$ será trivial sobre el 2-esqueleto, y por lo tanto también sobre el 3-esqueleto ya que $\pi_2SO(n)=0$ . Nótese que no hemos utilizado la finitud de ninguno de los grupos $H^i(X)$ sino la finitud de los primeros grupos de homotopía de $SO(n)$ .
Ahora procedemos de forma inductiva. Supongamos que tenemos un haz $\xi_n$ que es una suma de copias de $\xi$ y que es trivial sobre el $n$ -esqueleto de $X$ . La elección de una trivialización sobre el $n$ -esqueleto, el obstáculo para extender esta trivialización sobre un $(n+1)$ -célula es un elemento de $\pi_nSO(k)$ para $k$ la dimensión de $\xi_n$ . Según la teoría de la obstrucción, estos elementos definen una célula $(n+1)$ -cadena en $X$ con coeficientes en $\pi_nSO(k)$ que es, de hecho, un cociclo. Al volver a elegir el encuadre en $n$ -podemos sustituir este cociclo por cualquier otro de la misma clase de cohomología. En particular, si la clase de cohomología es cero el haz $\xi_n$ es trivial sobre el $(n+1)$ -esqueleto. Esto no tiene por qué ser el caso inicialmente, pero como suponemos que los grupos de cohomología de $X$ son finitos, hay algún múltiplo $m$ del cociclo de la obstrucción que es un cofinanciamiento. Si sustituimos $\xi_n$ por $\xi_{n+1}=\xi_n^{\oplus m}$ entonces no es difícil comprobar que el cocciclo de obstrucción para $\xi_{n+1}$ se convierte en cero en la cohomología. (Hay tres formas de añadir clases en $\pi_n$ de grupos ortogonales: (1) la adición habitual en $\pi_n$ (2) utilizando la estructura de grupo en los grupos ortogonales, y (3) formando sumas directas de matrices. Todas ellas coinciden, tras formar la suma directa en el tercer caso). Así, $\xi_{n+1}$ es trivial sobre el $(n+1)$ -esqueleto, terminando el paso de inducción cuando $X$ es un complejo finito. El ejemplo con ${\mathbb R}P^\infty$ muestra que no podemos llevar la inducción a través de un número infinito de pasos. Si $X$ fueran de dimensión finita pero no finita, se podría terminar si existiera un límite superior en los órdenes de los elementos de $H^i(X)$ para $i>0$ .
