Cálculo del grupo fundamental de polígonos identificados con límites

Question

Calcula el grupo fundamental de cada uno de los siguientes polígonos identificados con límites.

Me imagino que tengo que utilizar el teorema de Van-Kampen, pero no estoy seguro de qué tipo de conjuntos abiertos debo elegir. ¿Podría alguien guiarme a través de uno de ellos?

Answer 1

Hatcher explica cómo calcular el grupo fundamental de un complejo CW. Cada uno de los tres espacios de su problema es el resultado de tomar un complejo CW de 1d (es decir, un gráfico topológico) y pegar la frontera de una célula de 2 (un disco) al complejo de 1d. Un disco $D$ tiene una cobertura dada por $D-\{x\}$ y $D^{\circ}$ , donde $x\in D^{\circ}$ y esta cubierta tiene la agradable propiedad de que $D-\{x\}$ deformación se retrae en $\partial D$ que $D^{\circ}$ deformación se retrae en $x$ y que $(D-\{x\})\cap D^{\circ}$ deformación se retrae en un espacio homeomorfo a $S^1$ .

De todos modos, perfora el interior de un polígono para obtener un conjunto en la cubierta, y deja que el interior del polígono sea el otro conjunto. (Cuando hay más polígonos, hay que tener más cuidado que usar los interiores de cada polígono, por consideraciones de punto base).

Dejemos que $X$ sea el tercer ejemplo, dejemos que $x\in X$ esté en el interior del triángulo, y sea $U\subset X$ sea una vecindad de disco abierto de $x$ en el interior del triángulo (el interior del propio triángulo es suficiente). El espacio $X-x$ deformación se retrae en el bucle etiquetado $a$ que digo que es un bucle porque el diagrama de identificación implica que los tres vértices son el mismo vértice, por lo tanto $\pi_1(X-x)\cong \mathbb{Z}$ que diremos que es generado por $a$ mismo. El espacio $U$ es contraíble, por lo que $\pi_1(U)$ es trivial. La intersección $(X-x)\cap U$ deformación se retrae a un círculo, por lo que $\pi_1((X-x)\cap U)\cong\mathbb{Z}$ . Dejemos que $t$ representan el generador de este grupo fundamental. Utilizando alguna convención de puntos base, vemos que $t$ incluido en $X-x$ es $aa^{-1}a=a$ y que $t$ incluido en $U$ es $1$ . Por lo tanto, por el teorema de van Kampen, $\pi_1(X)\cong\langle a\mid a=1\rangle\cong 1$ .

Para los otros casos, como hay un límite no vacío, se podría salir con la deformación retrayendo el polígono en un gráfico.