Encontrar el radio de las cáscaras cilíndricas al girar dos funciones que forman una forma alrededor de un eje de rotación (el método de la cáscara)

Question

He estado constantemente escribiendo y reescribiendo el procedimiento para encontrar el radio en mis notas. Sé que es un concepto sencillo pero en todos los sitios que miro no repasan ese concepto -quizás ya debería saberlo pero se me debe haber olvidado. Sé lo que es el radio por definición pero sigo teniendo problemas.

Al principio tomaba la línea perpendicular a la altura y normalmente me salía la función que tocaba la línea.

Entonces después de equivocarme restaba/sumaba la diferencia del eje de rotación y el inicio de la función salvo que el radio siempre quería ser $x$ o $y$ .

Entonces se me ocurrió que el radio era la diferencia entre $f(y)$ , $f(x)$ y el eje de revolución. Así que el radio sería $x$ o $y$ más/menos la diferencia con el eje de revolución.

El problema es que no hay suficientes ejemplos o preguntas con respuestas en mi libro para saber si lo entiendo correctamente.

Answer 1

La idea clave es que el radio $r$ es una variable que creamos para integrar. Veamos un ejemplo: encontrar el volumen de la región entre las curvas $f(x)=-(x-3)^2+5$ y $g(x)=x$ cuando se gira alrededor del $y$ -utilizando el método de las cáscaras cilíndricas. Obsérvese que las dos curvas se cruzan en $x=1$ y en $x=4$ .

Esta es la cifra:

Ahora, para tener una idea de cómo funcionan las cáscaras cilíndricas, imagina que cortas una delgada astilla vertical de nuestra imagen y giras sólo eso alrededor del $y$ eje - obteniendo algo que parece una cáscara cilíndrica.

Ahora queremos calcular el volumen de esta cáscara: El volumen de la cáscara es aproximadamente el área de la astilla multiplicada por $2\pi r$ donde $r$ es la distancia al eje de rotación. ¿Por qué? Porque para cada punto de la línea de nuestra astilla estamos haciendo un círculo o radio $r$ . Podemos calcular el área de la astilla aproximándola como un rectángulo con una base muy pequeña $dr$ y la altura $f(r)-g(r)$ . Por lo tanto, el volumen de la cáscara es aproximadamente $$2\pi r(f(r)-g(r))dr$$

Ahora imaginemos que dividimos nuestra figura por completo en finas astillas y las hacemos girar. Tomando una integral sobre todas las posibles $r$ En la práctica, podemos sumar todos los volúmenes de estas cáscaras cilíndricas y obtener el volumen final.

$$V=\int\limits_a^b2\pi r(f(r)-g(r))\,dr$$

Para completar nuestro ejemplo, observe que en nuestro caso $a=1$ , $b=4$ , $f(r)=-(r-3)^2+5$ y $g(r)=r$ . Por lo tanto, para nuestro ejemplo tenemos $$\begin{align} V&=\int\limits_1^42\pi r(-(r-3)^2+5-r)\,dr \\&=2\pi\int\limits_1^4 r(-r^2+5r-4)\,dr \\&=2\pi\int\limits_1^4 -r^3+5r^2-4r\,dr \\&=2\pi\left(-\frac{1}{4}r^4+\frac{5}{3}r^3-2r^2\right)\bigg|_{r=1}^{r=4} \\&=2\pi\left(-64+\frac{5}{3}\times 64-32+\frac{1}{4}-\frac{5}{3}+2\right) \\&=2\pi\left(\frac{32}{3}+\frac{7}{12}\right) \\&=2\pi\left(\frac{135}{12}\right) \\&=\frac{45\pi}{2} \end{align}$$